최대한 간단하게에 초점을 맞춰서 답변드립니다.
첫 번째
언어 : python
웹서버 : django
데이터베이스 : postgresql(무료)
장고에서 기본적으로 제공하는 auth를 사용하여 구현할 수 있습니다.
검색해보시면 django(장고)로 회원가입하는 예제는 많이 보실 수 있을 겁니다.
또한 view(rest api) 구성이 간단합니다.
database 생성과 마이그레이션도 지원해줍니다.
두 번쨰
언어 : java
웹서버 : Spring Boot 2.0(내장 서버)
데이터베이스 : postgresql(무료)
요새 Spring Boot는 생성하면 바로 웹서버를 실행시킬 수 있고 역시 간단하게 API 서버를 구현할 수 있습니다. 장점은 추후 확장해서 규모가 커져서 엔터프라이즈 급으로 된다고 하면 성능 및 구성에 이점이 있을 수 있습니다.
Security를 구현하신다면 약간의 장벽이 있습니다만, 단순히 id + password 저장을 구현하신다면 역시 큰 문제는 없으실 겁니다.
세 번째
언어 : javascript
웹서버 : nodejs(express)
데이터베이스 : postgresql(무료)
역시 간단하게 API 서버 스택을 구현할 수 있습니다. typescript까지 사용하신다면 좀 더 객체지향 적으로 개발 가능하고 에러도 잡으실 수 있습니다.
위 두 방법에 비해 DBMS 연동이 쉽지 않을 수 있습니다만, 작성자님이 요구하는 정도의 기능은 충분할 것 같습니다.
이 것의 최대 장점은 javascript가 주 언어이기에 웹까지도 쉽게 확장할 수 있다는 것일 겁니다.