안녕하세요. 이수민 전문가입니다.
물리학에서 차원 분석을 하는 이유는 구체적인 측정 단위(m, cm, km 등)나 물리적 상황을 떠나, 그 물리량이 가진 본질적인 성질만 추출하여 식의 타당성을 검사하기 위해서예요.
질문하신 것처럼 반지름 r이 L(길이)의 차원을 갖는 이유는 r이 공간상에서 두 지점 사이의 '거리'를 나타내는 물리량이기 때문입니다. 물리학에서 차원 기호 L은 단순히 어떤 형태의 길이인지를 따지지 않고, 그 값이 '길이'의 성질을 가지고 있다면 모두 L로 통일하여 사용합니다.
반지름의 길이와 속도, 가속도 계산에 포함된 길이는 상황에 따라 그 의미(회전 반경, 이동 거리 등)가 다를 수 있지만, 물리적 본질인 '길이'라는 측면에서는 완전히 동일합니다. 예를 들어, 10미터짜리 밧줄의 길이든, 행성의 궤도 반지름 10미터든, 자동차가 1초 동안 이동한 10미터든 모두 (길이)^1이라는 동일한 차원을 갖게 되죠.
이것을 L이라는 하나의 기호로 묶어서 사용하는 이유는, 식의 좌변과 우변이 물리적으로 '같은 종류의 양'인지를 확인하기 위해서입니다. 가속도는 (길이) / (시간의 제곱)의 성질을 가진 양이므로, 우변에 있는 반지름과 속도의 조합 역시 계산 결과가 최종적으로 (길이) / (시간의 제곱)이라는 본질을 유지해야만 물리적으로 성립 가능한 식이 됩니다. :)