부채꼴의 넓이가 중심각의 크기에 정비례 하는 이유에 관한 질문드립니다

Question

반지름의 길이가 r이고 중심각의 크기가 세타(라디안)인 부채꼴 OAB의 호 AB의 길이를 l이라고 할 때, 부채꼴 OAB의 넓이를 S라 하면 부채꼴의 넓이도 중심각의 크기에 정비례하므로

S : 파이r^2 = 세타 : 2파이

따라서 S = 1/2r^2세타 = 1/2rl

이라고 하는데 여기서 부채꼴이의 넓이가 중심각의 크기에 정비례하는 이유가 무엇인가요...?

Answer 1

안녕하세요. 도로밍입니다.

부채꼴은 원의 일부로서, 원도 중심각이 360도인 부채꼴이에요. 그렇다면 예를 들어 중심각이 360도인 부채꼴의 원의 넓이가 a라면, 중심각이 90도인 부채꼴은 4분의 1이니까 1/4a가 넓이죠.

여기서 중심각의 크기와 부채꼴의 넓이로 비례식을 세우면,

90 : 360 = 1/4a : a로

중심각의 크기가 4배 늘어나면 부채꼴의 넓이도 4배 늘어나요. 이로써, 중심각의 크기가 k배가 되면, 부채꼴의 넓이도 똑같이 k배가 되므로, 중심각의 크기에 부채꼴의 넓이가 정비례한다고 말할 수 있어요. (단, k≠0인 양수)