안녕하세요. 김두환 과학전문가입니다.
열심히 하신 흔적이 느껴집니다!
가우스 법칙은 특정 공간(체적)에 대해 단위 면적을 통과하는 힘의 합으로 특이점(힘을 만드는 전하량이나, 질량 등)을 찾아내는데 아주 유용한 식입니다.
위의 증명과정에서 각 면에 대한 F·dA를 계산하여 더해주어야합니다.
증명과정에서 잡은 채적은 ΔxΔyΔz에 대한 부피이며, 각면의 위치는 체적의 중심으로부터 +Δx/2, -Δx/2, +Δy/2,-Δy/2,Δz/2,-Δz/2에 위치합니다.
그런데, 중심좌표(xo,yo,zo)에서 힘이 Dxo,Dyo,Dzo이고 이것은 어떤 힘이라고 생각하시면 됩니다. 즉, 중심좌표에서의 힘은 Dxo, Dyo, Dzo이고, 다른 위치에서는 힘이 달라집니다.
(xo+Δx/2,yo,zo)위치에서 힘의 경우, 고려한 앞면의 경우 Dxo(xo+Δx/2,yo,zo),Dyo(xo+Δx/2,yo,zo),Dzo(xo+Δx/2,yo,zo)입니다.
그런데, Dyo, Dzo는 (xo+Δx/2,yo,zo)위치에놓인 면과 나란한 힘이기 때문에 면의 법선벡터와 내적은 0이 되어 고려하지 않습니다.
즉, Dxo(xo+Δx/2,yo,zo)와 ΔyΔz(dA)를 해줘야하죠.
여기서 Δx/2는 작은 값으로 Dxo를 테일러 전개할 수 있습니다.
Dxo(xo+Δx/2,yo,zo)=Dxo(xo,yo,zo)+Dxo'(xo,yo,zo)Δx/2+1/2! Dxo''(xo,yo,zo)(Δx/2)^2+...
Δx/2<<1이므로
Dxo(xo+Δx/2,yo,zo)∽Dxo(xo,yo,zo)+Dxo'(xo,yo,zo)Δx/2
까지 표현한 것이죠. 여기서 미분 '은 x에 대한 편미분 입니다.
궁금한 것이 해결되셨길 바라며, 잘 이해안가거나 더 궁금하시면 댓글남겨주세요.
