극한값과 함숫값이 같아질 수 있는 까닭에 대해서 질문드립니다.

함숫값은 x=a 에서의 함숫값 f(a) 이지만 , 극한값은 x가 a가 아니면서 a에 한없이 가까워질 때 성립하는 함숫값의 변화를 관찰하는 것이지 않나요? 그런데 x=a에 정확히 성립하여 f(a)의 값을 나타내는 함숫값과 x≠a이면서 a에 지속적으로 가까워지는 극한값이 어떻게 같아질 수 있다고 하는 건가요...?