결론부터 말씀드리면 육개장은 스프를 먼저 넣고 끓이느냐, 나중에 넣느냐에 따라 맛의 방향이 달라지기 때문에 어느 쪽이 맞고 틀리다기보다는 취향 차이에 가깝습니다.
먼저 스프를 넣고 끓이면 국물 전체에 맛이 충분히 우러나면서 전체적으로 진하고 묵직한 맛이 됩니다. 대신 오래 끓이거나 강하게 끓이면 향이 조금 날아가거나 맛이 둔해질 수 있습니다.
반대로 스프를 나중에 넣으면 국물은 비교적 깔끔하게 유지되다가 마지막에 맛이 확 살아나는 느낌이 납니다. 그래서 향이 더 또렷하고 짠맛이나 간 조절도 본인이 원하는 대로 하기 쉬운 편입니다.
이 차이 때문에 어떤 사람들은 먼저 넣는 방식이 더 진하고 깊어서 좋다고 느끼고, 어떤 사람들은 나중에 넣는 방식이 더 깔끔하고 맛이 살아 있어서 좋다고 느낍니다.
정리하면 먼저 넣으면 깊은 맛, 나중에 넣으면 선명한 맛이라고 볼 수 있고 질문자님처럼 나중에 넣는 방식이 더 맛있다고 느끼는 것도 충분히 자연스러운 취향입니다.