수학에서 아직도 풀지못한 난제가 있다는데 그게 정확히 무엇인가요?
수학에서 아직도 풀지못한 난제가 있다는데 그게 정확히 무엇인가요? 듣기만해서 무엇인지 정확히모르는데 아시는분계실까요? 답변부탁드려요
안녕하세요. 시뻘건무당벌레33입니다.
1. PNP 추측(P vs NP problem)
밀레니엄 수학 7대 난제 중 유일하게 일반인 수준에서 이해가능한 문제이다.
1972년 미국 전산학자 스티븐 쿡이 제안한 문제로써, 문제는 다음과 같다.
「P는 답을 얻기 쉬운 문제, NP는 증명이 쉽지만 답을 풀기는 어려운 문제이다.
P = NP 일까? P ≠ NP 일까?」
2. 리만 가설(Riemann Hypothe)
1859년 독일의 천재적인 수학자 리만이 세운 가설이다.
리만은 어느 정도 연구를 한 것으로 보이나 가정부가 실수로 연구를 태워버리는
바람에 자료가 없어져버렸고 100년 간 수학자들을 괴롭혀왔다.
가정부가 안태웠으면 수학 7대 난제에 등극을 안했을 수도 있다.
「리만 제타 함수에서 자명하지 않은 모든 영점의 실수부가 1/2 이다.」
[제타함수]
이를 달리 표현하면,
「제타함수의 제로점이 일직선상에 존재한다.」
3. 양-밀스 진량간극 가설(Yang-Mills Existence and Mass gap)
원자보다 작은 입자인 아원자 입자에 대한 이론으로써 가장 가벼운 입자들 또한 양의 질량을
가지는데, 이 질량간국에 대하여 수학적으로 증명해야 하는 가설이다.
이 가설은 우주를 구성하는 근원적인 힘의 정체를 수학적으로 규명하기 위한 설명이다.
원자의 핵을 이루는 양성자와 중성자를 쪼개면 더 작은 입자인 ‘쿼크’ 입자 3개가 나오는데
이 쿼크가 서로 강하게 잡아당기는 힘의 존재를 이 가설로 설명할 수 있다.
「임의의 콤팩트하고 단순한 게이지군 G에 대하여 R4상의 자명하지 않은 양-밀스
이론이 존재하여, △>0 인 질량 간극을 가짐을 증명하라.
존재의 증명은 적어도 인용된 논문 [35, 45] 처럼 강한 공리적 성질을 구성하는 것을
포함한다.」
* R4 : 유클리드 4차원 공간
* △ : 질량 간극 이론에서 예측되는 가장 가벼운 입자의 질량
우리나라 건국대학교 조용민 교수가 풀어서 잠시 화제가 되었던 문제다.
클레이 연구소에서는 아직 인정을 하지 않은 상태에 있다.
4. 내비어-스토크스 방정식(Navier-Stroke Equations)
이 방정식은 유체의 점성에 의하여 나타나는 압력과 마찰력을 고려한 유체 운동 방정식으로
편미분 방정식의 해를 구하는 문제로 볼 수 있다.
클로드 루이나비에와 조지 가르리엘 스토크스가 제안하였다.
항공기의 흐름이나 해양 오염물질의 확산 등의 연구에 활용된다.
「비행기 날개 위로 흐르는 기체흐름과 배 옆으로 흐르는 물 같은 유체흐름을 기술하는
편미분 방정식의 해를 구하라.」
5. 푸앵카레의 추측(Poincare Conjecture)
1904년 푸앵카레가 발표한 추측으로 2002년 러시아 천재 수학자 그레고리 페렐만이 증명에
성공하였다. 페렐만은 난제를 해결하고도 클레이 연구소에서 주는 필즈상과 상금 10억원을
받지 않았는데, 그 이유로 동물원의 원숭이처럼 사람들의 구경거리가 되기 싫다고 하였다.
「3차원 공간에서 닫힌곡선(폐곡선)이 하나의 점으로 모일 수 있다면, 그 공간은 구(球)로
변형될 수 있다.」
6. 버치와 스위너턴 다이어의 추측(Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)
1965년 브라이언 버치와 스위너턴 다이어가 발표한 문제이다.
타원곡선을 유리수로 정의하는 방정식이 유한개의 유리수 해를 가지는지 무한개의 해를
가지는지를 알 수 있는 간단한 방법을 구하라 라는 문제이다.
「수체상의 타원곡선 E의 점들이 이루는 아벨군의 계수와 그 하세-베유L 함수의 s=1에서
갖는 근의 차수가 같다.」
S = 1 에서 테일러 급수
* 타원곡선 : y^2 = x^3 + ax + b 꼴로 나타낼 수 있는 대수곡선
7. 호지 추측(Hodge Conjecture)
일리엄 밸런스 더글라스 호가가 발표한 추측으로 어떠한 대상체도 모두 기하학의 조합이라는
대수적 순환에 대한 추측이다. 위상학과 관련이 있는 가설이다.
「X가 부드러운 사영 복소 대수다양체일 때 X의 모든 호지류는 대수적이다. 즉, X의
호지류들은 항상 X의 부분 대수다양체들의 코호몰로지류들의 유리수 위에서의 선형
결합으로 표현될 수 있다.」
이를 다르게 표현하면,
「어떠한 물체라도 기하학 조각의 조합이다.」
