수학에서 아직도 풀지못한 난제가 있다는데 그게 정확히 무엇인가요?

Question

수학에서 아직도 풀지못한 난제가 있다는데 그게 정확히 무엇인가요? 듣기만해서 무엇인지 정확히모르는데 아시는분계실까요? 답변부탁드려요

시뻘건무당벌레33 · Accepted Answer

안녕하세요. 시뻘건무당벌레33입니다.1. PNP 추측(P vs NP problem)​밀레니엄 수학 7대 난제 중 유일하게 일반인 수준에서 이해가능한 문제이다.1972년 미국 전산학자 스티븐 쿡이 제안한 문제로써, 문제는 다음과 같다. 「P는 답을 얻기 쉬운 문제, NP는 증명이 쉽지만 답을 풀기는 어려운 문제이다.  P = NP 일까?   P ≠ NP 일까?」   2. 리만 가설(Riemann Hypothe)​1859년 독일의 천재적인 수학자 리만이 세운 가설이다.리만은 어느 정도 연구를 한 것으로 보이나 가정부가 실수로 연구를 태워버리는바람에 자료가 없어져버렸고 100년 간 수학자들을 괴롭혀왔다.가정부가 안태웠으면 수학 7대 난제에 등극을 안했을 수도 있다. 「리만 제타 함수에서 자명하지 않은 모든 영점의 실수부가 1/2 이다.」​                [제타함수]​이를 달리 표현하면,​​ 「제타함수의 제로점이 일직선상에 존재한다.」​​​3. 양-밀스 진량간극 가설(Yang-Mills Existence and Mass gap)​원자보다 작은 입자인 아원자 입자에 대한 이론으로써 가장 가벼운 입자들 또한 양의 질량을가지는데, 이 질량간국에 대하여 수학적으로 증명해야 하는 가설이다.​이 가설은 우주를 구성하는 근원적인 힘의 정체를 수학적으로 규명하기 위한 설명이다.원자의 핵을 이루는 양성자와 중성자를 쪼개면 더 작은 입자인 ‘쿼크’ 입자 3개가 나오는데이 쿼크가 서로 강하게 잡아당기는 힘의 존재를 이 가설로 설명할 수 있다.​「임의의 콤팩트하고 단순한 게이지군 G에 대하여 R4상의 자명하지 않은 양-밀스이론이 존재하여, △>0 인 질량 간극을 가짐을 증명하라.존재의 증명은 적어도 인용된 논문 [35, 45] 처럼 강한 공리적 성질을 구성하는 것을포함한다.」 * R4 : 유클리드 4차원 공간* △ : 질량 간극 이론에서 예측되는 가장 가벼운 입자의 질량​우리나라 건국대학교 조용민 교수가 풀어서 잠시 화제가 되었던 문제다.클레이 연구소에서는 아직 인정을 하지 않은 상태에 있다.    4. 내비어-스토크스 방정식(Navier-Stroke Equations)​이 방정식은 유체의 점성에 의하여 나타나는 압력과 마찰력을 고려한 유체 운동 방정식으로편미분 방정식의 해를 구하는 문제로 볼 수 있다.클로드 루이나비에와 조지 가르리엘 스토크스가 제안하였다.항공기의 흐름이나 해양 오염물질의 확산 등의 연구에 활용된다. 「비행기 날개 위로 흐르는 기체흐름과 배 옆으로 흐르는 물 같은 유체흐름을 기술하는편미분 방정식의 해를 구하라.」 ​ ​5. 푸앵카레의 추측(Poincare Conjecture)​1904년 푸앵카레가 발표한 추측으로 2002년 러시아 천재 수학자 그레고리 페렐만이 증명에성공하였다. 페렐만은 난제를 해결하고도 클레이 연구소에서 주는 필즈상과 상금 10억원을받지 않았는데, 그 이유로 동물원의 원숭이처럼 사람들의 구경거리가 되기 싫다고 하였다. 「3차원 공간에서 닫힌곡선(폐곡선)이 하나의 점으로 모일 수 있다면, 그 공간은 구(球)로변형될 수 있다.」   6. 버치와 스위너턴 다이어의 추측(Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)​1965년 브라이언 버치와 스위너턴 다이어가 발표한 문제이다.타원곡선을 유리수로 정의하는 방정식이 유한개의 유리수 해를 가지는지 무한개의 해를가지는지를 알 수 있는 간단한 방법을 구하라 라는 문제이다.​「수체상의 타원곡선 E의 점들이 이루는 아벨군의 계수와 그 하세-베유L 함수의 s=1에서갖는 근의 차수가 같다.」      S = 1 에서 테일러 급수    * 타원곡선 : y^2 = x^3 + ax + b 꼴로 나타낼 수 있는 대수곡선   7. 호지 추측(Hodge Conjecture) 일리엄 밸런스 더글라스 호가가 발표한 추측으로 어떠한 대상체도 모두 기하학의 조합이라는대수적 순환에 대한 추측이다. 위상학과 관련이 있는 가설이다. 「X가 부드러운 사영 복소 대수다양체일 때 X의 모든 호지류는 대수적이다. 즉, X의호지류들은 항상 X의 부분 대수다양체들의 코호몰로지류들의 유리수 위에서의 선형결합으로 표현될 수 있다.」 이를 다르게 표현하면,​「어떠한 물체라도 기하학 조각의 조합이다.」

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