65세는 실업급여 혜택을 못받나요?

안녕하세요. 실업급여에 대해 궁금한것이 있어 질문 올립니다.

저희 아버지가 60세에 오래다니던 직장을 그만두었습니다. 그리고 나서 적적하여 기간제 조금한 회사에 경비 관련된 일을 하셨는데요, (일하신지 4년이 넘었습니다.)

66세가 되고 힘드셔서 그만두려 하니깐 회사에서 65세가 넘어, 급여처리하는 곳에서 실업급여를 못받을거란 얘기를 합니다. 65세 이상이어도 65세 이전에 취업한 경우 실업급여 받을수 있다고 들었는데, 못받나요?

매년 재계약을 하여 일했던 곳인데, 퇴사할때 실업급여를 못받을거란 말을 하니깐 이상해서요. 실업급여 혜택을 못받게 되는건가요??