묵시적 갱신 후 월세 증액시 새 계약서 작성 무조건인가요?

전에 비슷한 질문을 한 적이 있는데 여전히 애매해서 여쭤봅니다ㅠㅠ.

계약 만료 1개월이 안 남아 묵시적 계약이 정해진 상황입니다.

이 상황에서 임대인이 묵시적 계약 시작 달부터 월세 증액을 요구하여 합의로 올리기로 하였습니다

그런데 임대인은 구청신고를 위해 새 계약서를 써야 한다고 합니다.

여기서 제가 궁금한점들인데요

1. 월세만 올리는데 굳이 계약서를 다시 작성해야 하나요?

월세 같은 경우는 문자로 서로 합의한 증거만 남아도 된다는 말을 들었는데 맞나요?

2. 임대인이 새 계약서에 묵시적 계약 시작일 부터 만료 날짜 까지 동일하게 새로 기간을 쓰고 증액하여 쓰자고 합니다.

이 경우 전에 있던 묵시적 계약이 없어지고 새 계약이 되기 때문에 묵시적 계약 일 때 임차인이 원할 때 3개월후 계약 종료

할 수 있던 권한이 없어진다는 말을 들었는데 사실인가요? 아니면 새로 써도 묵시적 계약은 여전히 유효한가요?