피보험자격청구에 알고 싶은 점이 있습니다.

프리랜서로 일을하다 해고를 받았고 사장님께 고지 후 피보험자격확인청구로 취득,상실 신고를 요청드린 상태입니다. 공단에 증거로는 11월~6월까지의 입퇴사 날짜가 적힌 퇴직증명서와 11월~5월(6월 급여는 아직 입금전날)까지의 통장내역서를 보냈는데 사장님께서 적게 내는 선에서 실업급여 조건만 충족시키는게 어떻겠냐며 12월~6월 보험신고만 진행하는게 가능하다고 그렇게 진행하자고 하시면서 4대를 신청하려면 근로계약서를 새로 작성해야 한다고 하십니다.

제가 궁금한 점은

1. 공단에서는 11월~6월까지 근무했다는 증거자료가 있으니 임의로 12월~6월만 보험에 들면 기간 허위신고로 보일까 걱정이 되는데 저한테는 피해가 오는게 없는건가요?

2. 12월~ 6월만 보험 신고를 했다가 실업급여에 충족이 안되면 또한번의 피보험자격확인청구를 통해 정정이 가능한가요?

3. 4대보험을 신청하려면 프리랜서 계약서가 아닌 4대보험 계약서가 필요해서 새로 작성하러 사업장에 방문해야한다는데 필요한 절차인가요?