공업수학 주기가 2인 주기함수 f(x)는 Fourier 급수를 이용하는 문제입니다. 정답을 알고 싶습니다.
주기가 2인 주기함수에 대한 식을 Forier 급수를 이용하여 빈칸에 대한 답변을 작성하는 문제입니다. 빈칸에 대한 답변을 알고 싶은데 지식이 부족해 그러지 못하고 있습니다. 고견 알려주시면 배우겠습니다. 감사합니다.
1개의 답변이 있어요!안녕하세요. 김두환 과학전문가입니다.
푸리에 급수는 cos항이나 sin항 또는 exp항 앞의 계수를 결정함으로써 완성되는 원리입니다.
이 문제와 앞서 풀어드린 문제처럼 같은 원리로 푸시면 쉽습니다. 이 문제를 잘 이해하셔서 다른 문제는 스스로 풀어보시길 권장드립니다.
1. ao구하기. <- 그냥 적분하면됨
f(x)=x^2=a0+Σan cos(nπx)
이 식에서 -1<x<1 구간으로 양변을 적분해줍니다.
cos항은 0이되고,
2/3=2ao
가 되므로, ao=1/3입니다.
2. an결정하기 역변환 취하는 과정입니다. 단순히 an에 붙어있는 함수를 곱하여 적분해주면됩니다.
f(x)=x^2=a0+Σan cos(nπx)
이 식에서 양변에 cos(mπx)를 곱하여 x로 -1<x<1 적분해주겠습니다.
cos(mπx) x^2=1/3 cos(mπx)+Σan cos(nπx) cos(mπx)
=> ∫[cos(mπx) x^2]dx=1/3 ∫[cos(mπx)]dx+Σan ∫[cos(nπx) cos(mπx)]dx
=> [4 (-1)^m]/(m^2 π^2)=1/3*0+Σan δnm
여기서, 좌변의 적분은 mπ를 변수로 두고 미분한 뒤 적분하여 계산이 가능하고, 또 부분 적분법을 사용해도됩니다. 우변은 2 cos a cos b=cos(a+b)+cos(a-b)와 같은 식을 이용해 적분 가능합니다. 즉, cos((n+m)πx)항과 cos((n-m)πx)에 대한 적분입니다. 여기서 적분하면 sin꼴이 나와 다 0이되는데, m=n이 같을 때에만 살아남습니다. 그래서 δnm골로 적은겁니다.
[4 (-1)^m]/(m^2 π^2)=Σan δnm
=> [4 (-1)^m]/(m^2 π^2)=am
=> an=[4 (-1)^n]/(n^2 π^2)
으로 결정할 수 있습니다.
혹시 이해를 못하셨을 수도 있으니 사진의 과정대로 적어드리면,
∫[cos(nπx) x^2]dx=an (-1<x<1)
좌변은 우함수라서,
2∫[cos(nπx) x^2]dx=an (0<x<1) 입니다.
또한,
이 적분 결과는
an=[4 (-1)^n]/(n^2 π^2) 이므로,
n이 짝수일 때,
an=4/(n^2 π^2)
n이 홀수일 때,
an=-4/(n^2 π^2)
입니다.
따라서,
f(x)=x^2=a0+Σan cos(nπx)
f(x)=x^2=1/3-4/(π^2) Σ[(-1)^(n+1)]/(n^2) cos(nπx)
입니다.
마지막으로 x=1을 넣으면
f(1)=1=1/3-4/(π^2) Σ[(-1)^(n+1)]/(n^2) cos(nπ)
=> 1=1/3-4/(π^2) Σ[(-1)^(n+1)]/(n^2) (-1)^n
=> 1=1/3-4/(π^2) Σ[-1]/(n^2)
=>2/3=4/(π^2) Σ1/(n^2)
=>π^2/6= Σ1/(n^2)=ζ(2)
가됨을 알 수 있습니다.
이 문제는 유명한 바젤 문제이며, 리만-제타 함수에 2를 넣은 값입니다.