f(x)의 도합수에 대한 Fourier 코사인 변환공식을 여쭤봅니다.
f(x)의 도함수에 대한 Fourier 코사인 변환공식을 적고 이를 이용하여 f(x)=e-ax의 Fourier 코사인 변환이 루트 파이분의 2 알파제곱+w제곱 분의 알파일때 f(x)의 Fourier 사인 변환을 구하여야 하는데 제가 지식이 부족해서 잘 모르겠습니다..빈칸에 들어갈 것들에 대해 알려주시면 감사하겠습니다...
안녕하세요.
개념적인 부분만 설명드리고 문제는 한 번 풀어보시는 것을 권해드립니다.
코사인 퓨리에 변환은 변환 계수를 구하는 것입니다. 즉, f(x)=Σan cos(nπx) (n=0 to ∞) 혹은 f(x)= ∫g(w) cos(wx)dw (w=-∞ to ∞) 의 an, g(w)을 구하는 것이 퓨리에 코사인 변환 입니다.
예시로 문제에서는 f'(x)에 대한 코사인 퓨리에 변환을 구하라고 하였으며, 결과를 보면 √(2/π) a/(a^2+w^2) 인것으로 봐서
f'(x)=∫g(w) cos(wx)dw (w=-∞ to ∞)인 형태입니다. g(w)를 구하는 것이 퓨리에 코사인 변환입니다.
여기서 양변에 cos(kx)를 곱하여 x에 대해 적분하면 (x=-∞ to ∞),
∫f'(x)cos(kx)dx=∫g(w) [∫cos(wx)cos(kx)dx] dw
됩니다.
특히, 이 식의 우변에서 디락델타함수가 됨으로 w=k일 때(cos이 우함수의 성질도 이용)만 값을 가짐을 알 수 있는데(이전 질문의 문제에서 위와 같이 됨을 보임), 이를 이용하면 코사인 퓨리에 변환은(문제의 조건으로 √(2/π) a/(a^2+w^2))
g(w)=1/(2π)∫f'(x)cos(wx)dx=√(2/π) a/(a^2+w^2)
이죠.
여기서 ∫f'(x)cos(wx)dx= [f(x)cos(wx)](x->0,∞)+w∫f(x)sin(wx)dx 이고, f(x)=e^(-ax) 이므로,
g(w)=1/(2π) [-1+w∫f(x)sin(wx)dx]=√(2/π) a/(a^2+w^2)
임을 보일 수 있습니다.
여기서, 1/(2π)∫f(x)sin(wx)dx은 퓨리에 사인 변환이므로 두번 째 칸에는
1/(2π)∫f(x)sin(wx)dx=1/w g(w)+1/(2πw)
를 얻습니다.
즉, 1/w [g(w)+1/(2π)] 로 나타내 집니다. g(w)=√(2/π) a/(a^2+w^2)
과정을 잘 이해하시고 검토하셔서 답안을 완성시키길 바랍니다. 여기서 퓨리에 함수나 퓨리에 변환에 대한 정의에 따라1/(2π) 와 같은 계수 부분이 다를 수 있습니다.