함수 f(x)=e-kx의 Fourier 코사인적분을 구하여야합니다 여기서, x>0, k>0입니다.

Question

저로써는 너무 어려운 문제여서 올립니다... 함수 f(x)=e-kx의 Fourier 코사인적분을 구하여야 하는데 여기서, x>0, k>0이라고 합니다. 공업수학 2 과목인데 전혀 모르는 부분입니다. 도와주세요...

Answer 1

안녕하세요. 김두환 과학전문가입니다.

Fourier 코사인 적분의 정의는 잘 모르겠으나

퓨리에 급수로 표현하자면 ΣF(w)cos(wx)나 ∫F(w)cos(wx)dw와 같은 형태로 표현할 수 있습니다.

그리고 퓨리에 급수는 어떠한 함수를 표현할 수 있습니다. 특히, 코사인함수는 우함수를, 사인함수는 기함수를 표현하기에 적합하죠.

올려준 문제는 x>0인 구간이므로,

∫F(w)cos(wx)dw (적분 w범위는 -무한대에서 +무한대입니다.)=e^(-kx)

라고 둘 수 있습니다.

여기서 퓨리에 적분을 구하라는 의미는 F(w)를 찾아라는 소리이므로, 역변환 취해주면

∫cos(w'x) [∫F(w)cos(wx)dw] dx=∫cos(w'x) e^(-kx)dx

입니다.

∫F(w)[∫cos(w'x) cos(wx)dx]dw dx=∫cos(w'x) e^(-kx)dx

로 쓸 수 있고, 좌변에 cos(w'x) cos(wx)를 cos(wx)=[e^(iwx)+e^(-iwx)]/2, cos(w'x)=[e^(iw'x)+e^(-iw'x)]/2를 이용하여 바꿔 곱하여 정리하면 다음을 알수 있습니다. e^(±i(w+w')x),e^(±i(w-w')x) 항이 나옴을 쉽게 볼 수 있습니다. 그리고 이러한 항을 x에 대해 적분하면 2πδ(w+w')과 같이 디락델타함수가 됩니다.이를 dw로 적분하면 F(w'), F(-w')항이 나옵니다. 그런데, 우변의 cos(w'x)는 우함수라는 특징을 살려 쓰면,

2 π F(w')= ∫cos(w'x) e^(-kx)dx

입니다.

즉, F(w)=1/2 π ∫cos(wx) e^(-kx)dx

가 됩니다.

이 적분은 부지런히 해주면됩니다.

F(w)=1/2 π ∫cos(wx) e^(-kx)dx

=1/2 π ∫[e^(iwx)+e^(-iwx)]/2 e^(-kx)dx

=1/2 π ∫[e^((iw-k)x)+e^(-(iw+k)x)]/2dx [0~무한대 적분]

=1/(4π) [1/(-iw+k)+1/((iw+k))]

=1/(4π) [2k/(w^2+k^2)]=1/(2π) [k/(w^2+k^2)]

입니다.