수학적귀납법에 대해서 설명해주실 수 있으신가요

Question

예시를 들어서 설명해 주시면 감사하겠습니다.

예를 들면 1+2+3+4+•••+n=n(n+1)÷2 잖아요

i) n=1일때 성립

ii)n=k일때 성립한다고 가정하면 n=k+1일때도 성립한다.

따라서 모든 자연수에 대하여 위의 식이 성립한다.

이렇게요

그리고 수학적 귀납법이 맞는 이유가 이해가안되는데 설명해주시면 감사할게요

Answer 1

안녕하세요. 김두환 과학전문가입니다.

수학적 귀납법은 n=k인 일반항이 맞다는 것을 증명하는 것입니다.

일단, n=1이나 n=2, n=3에 대해 계산을 해보고 일반식이 맞는지 확인해봅니다. 사실 n=1, n=2, n=3 까지 해보고 일반식을 직관적으로 생각하는게 올바른 과정이죠.

가령 Sn=1+3+5+...+2n-1의 형태를 찾기위해

n=1일 때 S1=1

n=2일 때 S2=4

n=3일 때 S3=9

로 n=k일 때 왠지 k^2일 것 같은 예감이 들어 귀납법을 시작하는 것이죠.

그래서 n=k일 때 k^2으로 가정을 하는 것입니다.

그리고 가정한 것이 맞다면, n=k+1일 때에도, n=k+2일 때에도 맞아 떨어져야하며 맞다는 것을 보여주게 됨으로써 가정이 맞다는 것을 뒷받침하는 것입니다.

n=(k+1)일 때, Sk+1=(k+1)^2으로, k^2+2k+1입니다.

그런데,

Sk=k^2으로 가정하였고, ak+1=2k+1임을 알고 있습니다.

즉, Sk+1=Sk+2k+1=k^2+2k+1임을 보일 수 있어

Sk=k^2으로 가정한것을 뒷받침하는 것이죠.

즉, Sk=k^2이 확실하다는 것입니다.

Answer 2

안녕하세요. 이준엽 과학전문가입니다.

수학적 귀납법은 수학적 명제를 증명하는 데에 사용되는 강력한 증명 기법 중 하나입니다. 귀납법을 사용하여 명제를 증명할 때, 다음 두 단계를 거치게 됩니다:

1. 기본 단계 (Base Case): 명제가 처음으로 성립하는 경우를 보여줍니다. 일반적으로 명제가 n=1 또는 다른 첫 번째 자연수에서 성립하는지를 확인합니다.

2. 귀납 단계 (Inductive Step): n=k인 경우에 명제가 성립한다고 가정합니다. 그리고 이 가정을 바탕으로 n=k+1인 경우에 명제가 성립함을 증명합니다.

수학적 귀납법의 강력한 점은 무한한 개수의 경우에도 해당 명제가 모두 성립함을 보일 수 있다는 것입니다. 기본 단계를 통해 처음으로 명제가 성립하는 경우를 보여주고, 귀납 단계를 통해 이후 모든 경우에 명제가 성립함을 보일 수 있기 때문입니다.

예를 들어, 위에서 언급한 식인 1+2+3+4+...+n = n(n+1)/2을 수학적 귀납법으로 증명해보겠습니다.

1. 기본 단계: n=1인 경우를 고려해봅니다. 1=1(1+1)/2 이므로 명제가 성립합니다.

2. 귀납 단계: 이제 n=k인 경우에 명제가 성립한다고 가정하고, 이를 바탕으로 n=k+1인 경우에 명제가 성립함을 보여야 합니다.

   n=k인 경우에 명제가 성립하므로 1+2+3+...+k = k(k+1)/2 입니다.

   그리고 이제 n=k+1인 경우를 고려해봅니다. 1+2+3+...+k+(k+1) = (k(k+1)/2) + (k+1) 이 됩니다.

   이를 간단히 정리하면 (k+1)(k+2)/2 이 됩니다.

   따라서, n=k+1인 경우에도 명제가 성립합니다.

기본 단계와 귀납 단계를 모두 따라가면 모든 자연수에 대하여 위의 식이 성립한다는 것을 증명할 수 있습니다. 이렇게 수학적 귀납법을 사용하여 명제를 증명하는 것은 수학적인 증명에서 자주 사용되는 유용한 방법 중 하나입니다.