푸앵카레 정리에는 임의의 경계가 없는 단일연결 컴팩트 3차원 다양체가 명제의 주체가 됩니다. 여기서 3차원 다양체가 뭔지 궁금하여 질문남김니다, 제가 찾아보기로는 3차원 다양체의 예시로 3차원 초구가 있어 결국 4차원 도형이 3차원 다양체인걸로 나오는데요. 그렇다면 푸앵카레 추측(4차원)과 우주(3차원)의 모양을 특정하는것에 무슨관련이 있는지 궁금합니다.
안녕하세요. 박준희 과학전문가입니다.
기하학적 위상수학에서는 다양체의 위상수학적 성질을 다룬다고 합니다. 다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 닮은 위상 공간으로서, 일반적인 위상 공간보다 더 다양한 성질들을 갖습니다.
다양체의 위상수학은 차원에 따라 현저히 다른 성질을 보이는데요. 1·2차원 다양체는 자명하고, 5차원 이상의 다양체 역시 하나의 공통된 이론이 존재하나, 3차원 및 4차원 다양체는 매우 복잡한 성질을 갖는다고 하네요.
감사합니다.
