푸앵카레의 추측이 무엇인가요?

Question

안녕하세요.

푸앵카레의 추측이라는게 구체적으로 무엇인가요?

과학,수학적으로 매우 유명한 것 같은데

과학적으로 어떠한 가치가 있나요?

Answer 1

안녕하세요. 김경태 과학전문가입니다.

푸앵카레의 추측은 소수와 관련된 수학적인 가설입니다. 이 가설은 1850년에 프랑스 수학자 푸앵카레가 제시한 것으로, 모든 소수는 2^p-1의 형태로 나타낼 수 있다는 가설입니다. 이때 p는 어떤 자연수인데, 이 자연수를 푸앵카레 수라고 부릅니다.

즉, 푸앵카레의 추측은 모든 소수가 2의 거듭제곱에서 1을 뺀 형태로 나타낼 수 있다는 가설입니다. 하지만 이 가설이 참인지 아닌지는 아직 밝혀지지 않았습니다. 현재까지도 푸앵카레의 추측을 증명하거나 반례를 제시하는 것은 매우 어려운 문제 중 하나로 남아있습니다.

Answer 2

안녕하세요. 형성민 과학전문가입니다.

a, b, c가 모두 자연수이고, n이 2보다 큰 자연수일 때, a^n + b^n = c^n을 만족하는 자연수 a, b, c가 존재할 수 없다는 정리입니다.

Answer 3

안녕하세요. 김태경 과학전문가입니다.

푸앵카레 추측은 4차원 초구의 경계인 3차원 구면의 위상학적 특징에 관한 정리이다. 이 정리의 구체적 내용은 '모든 경계가 없는 단일 연결 콤팩트 3차원 다양체는 3차원 구면과 위상동형이다'이다

우주의 모양을 알아낼 수도 있지 않을까 하는 생각에사 시작되었다고 합니다

Answer 4

안녕하세요. 김학영 과학전문가입니다. 푸앵카레의 추측은 물리학적인 실험 방법론으로, 장대한 중량의 고정된 진자(푸앵카레의 진자)를 이용하여 지구의 회전 속도를 측정하는 방법입니다. 이러한 진자는 지구의 중력과 마찰력에 의해 일정한 주기로 왔다갔다 움직이게 되는데, 이 때문에 지구가 고정되어 있다면 왔다갔다 움직이지 않고 일정한 방향으로 운동할 것입니다. 그러나 지구가 회전하고 있기 때문에, 진자는 고정된 방향대로 움직이는 것이 아니라, 점점 다른 방향으로 움직이게 됩니다. 이를 측정하여 지구의 회전 속도를 계산할 수 있습니다.

Answer 5

안녕하세요. 원형석 과학전문가입니다.

3차원에서 두 물체가 특정 성질을 공유하면 두 물체는 같은 것'이라는 이론으로 수학의 난문제 가운데 하나이다. 미분방정식의 곡면 분류에 관심을 갖던 푸앵카레가 1904년의 논문에서 '단일연결인 3차원 다양체는 구면과 같은 것인가'라는 문제를 제기하면서 비롯되었다. 2003년 '러시아 태생의 페렐만이 미분기하학의 도구를 이용하여 해결했다'는 보고가 발표된 바 있다.

'3차원에서 두 물체가 특정 성질을 공유하면 두 물체는 같은 것'이라는 이론을 말한다. 미분방정식의 곡면 분류에 관심을 갖던 푸앵카레가 1904년의 논문에서 '단일연결인 3차원 다양체는 구면과 같은 것인가'라는 문제를 제기하면서 비롯되었다.

이 문제는 n차원 다양체까지 확장되었는데, 미국 캘리포니아대학교 샌디에이고 분교 교수 스메일(Stephen Smale)이 n?5의 문제를 다양체의 특이점과 곡면 위상의 상태를 나타내는 양(量)의 대응을 이용하여 위상동형임을 밝히는 데 성공했다. 스메일 교수는 그 공적으로 1966년도 필즈상을 수상했다.

1981년에는 같은 대학교 버클리 분교 교수 프리드먼(M.H. Freedman)이 4차원 푸앵카레추측을 해결하여, 1986년도 필즈상을 수상했다. 이 같은 진전은 '수학 문제는 차원이 높아질수록 어려워진다'는 단순한 생각을 뒤엎었다는 점에서도 획기적이었다.

미국의 클레이 수학연구소는 이 문제를 푸는 데 100만 달러의 상금을 걸었고, 2003년 '러시아 태생의 페렐만(Grigori Yakovlevich Perelman)이 미분기하학의 도구를 이용하여 해결했다'는 보고가 발표된 바 있다.