로또 1등 당첨확률이 궁금합니다 알려주세
매주 로또를 발표하는데요
당첨자 수가 10명 내외로 나오는 것 같더라구요
로또 1등 당첨확률이 얼마정도이고
확률 계산방식을 알려주세요
로또 1등 당첨 확률은 8,145,060(814만5060) 분의 1 입니다. 퍼센트로 나타내면 0.000012% 입니다. 실제로 어느 정도의 확률인지 수치만 봐서는 감이 오질 않습니다.
그런데 로또 당첨 확률이 벼락맞을 확류보다 낮다는 얘기가 있습니다. 벼락에 맞을 확률이 약 60만분의 1이라고 하니 벼락 맞을 확률보다 13배 이상 낮다고 얘기를 합니다.
이 로또의 당첨확률인 814만5060 분의 1은 어떻게 계산하는 것인지? 그 계산 공식에 대해서 한번 알아 보겠습니다.
먼저 로또는 45개 번호중에 6개의 번호를 맞추는 게임입니다.
단순하게 생각하면 첫번째는 45개중에 1개를 뽑고, 두번째는 44개중에 1개를뽑고, 세번째는 43개중에 1개를 뽑고, 네번째는 42개중에 1개를 뽑고, 다섯번째는 41개중에 한개를 뽑고, 여섯번째는 40개중에 1개를 뽑기 때문에 이를 공식으로 표현하면,
45 x 44 x 43 x 42 x 41 x 40 = 5,864,443,200 으로 생각할 수 있습니다. 약 59억 분의 1로 확률이 굉장히 낮습니다.
하지만 이는 뽑는 순서를 인정하는 경우입니다. 예를 들면 1, 2, 3, 4, 5, 6 순으로 뽑은 것과 6, 5, 4, 3, 2, 1 순으로 뽑은것을 서로 다른것으로 인정하는 경우입니다.
하지만 로또는 번호를 뽑은후에 작은순으로 정렬을 하기 때문에 위 두가지 경우를 같은것으로 인정합니다. 즉 뽑는 순서를 무시하는 경우 입니다. 뽑은 후 작은순으로 자동 정렬을 하는 경우입니다.
그래서 위에서 45개 번호중에 6개를 뽑는 가짓수에서, 정렬로 인한 중복이 발생하는 경우를 제외해야 합니다. 중복이 발생하는 경우의 수는 뽑은 6개의 번호를 순서를 인정하고 6개를 모두 뽑는 경우의 수와 같습니다.
즉 6개의 번호를 뽑은 상태에서 이들의 중복 가짓수는 6개중에 1개를 뽑고, 5개중에 1개를 뽑고, 4개중에 1개를 뽑고, 3개중에 1개를 뽑고, 2개중에 1개를 뽑고, 1개중에 1개를 뽑는 경우의 수와 같으며, 공식으로 표현하면,
6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720가지로 하나의 번호 조합이 가지는 중복수 입니다.
따라서 전체 로또의 가짓수는 위의 두 수를 나눈 값으로 8,145,060 가지 입니다.
이를 수학식으로 나타내면 아래와 같습니다.45개중 6개를 뽑는데 순서를 인정하지 않는(뽑은후 작은순으로 자동정렬) 가짓수의 공식은 '45C6' 으로 나타냅니다.따라서 1등에 당첨될 확률은 45C6분의 1로 표기하고 814만5060 분의 1이라고 말합니다.
그럼 2등에 당첨될 확률은 어떻게 될까요?
전체 가짓수는 동일하며, 2등은 보너스볼 하나를 추가하여 6개 번호를 맞추면 되므로 총 6개의 번호 조합이 나옵니다. 그래서 2등의 당첨 확률은 814만5060 분의 6이 됩니다.
1등 당첨확률보다 6배 높은 확률이 됩니다. 나머지 등수도 동일한 방법으로 확률을 계산 할 수 있습니다.
아래는 현재 로또 당첨확률과 당첨금 배분 비율을 나타내는 표입니다.
혹시 이번주 로또를 사셨다면 좋은 기운 받으시고 꼭 당첨되길 빌겠습니다~
로또복권 1등 당첨확률은 8,145,060 분의 1 ( 약 0.00000012 )
내가 오늘 하루 교통사고로 사망할 확률(약 0.00000034)보다 1/3 희박하고, 번개에 맞을 확률(약 0.0000007)의 1/6 희박한 확률이다.
그럼에도 로또복권의 1등 당첨자 수가 10명 이상이 나오는 이유는 무엇일까?
당연한 답변이지만, 그만큼 로또복권을 구매하는 수량이 많다는 이야기다. 2018년 2월 17일(794회차)을 기준으로 지난 100회의 로또복권 총 판매금액은 다음과 같으며 대략적으로 700억원 내외다.
로또복권의 1등 당첨자 수에 대한 기댓값은 (총 판매금액)÷(1,000원×8,145,060가지)으로 계산된다.
매주 평균 700억원이 판매되었다고 가정한다면,
1등 당첨자 수에 대한 기댓값은 (70,000,000,000원)÷(1,000원×8,145,060가지) ≒ 8.59명 이다.
따라서 8명 내외의 1등 당첨자가 나오는 것은 지극히 자연스러운 결과이다. 그럼에도 불구하고 지난 777회차(2017.10.21.)의 1등 당첨자 수 21명은 확률을 이해하지 못한 이들에게는 쉽게 받아들일 수 없는 결과일 것이다.
< 제777회 로또복권 총 판매금액 755억원, 1등 당첨자 수 21명, 1등 당첨금액 약 8억원 >
이쯤해서 지난 100회(695회∼794회)에 대한 로또복권 1등 당첨자 수를 집계한 통계적 확률과 이론적으로 계산한 수학적 확률 값을 비교해보자. 물론, 수학적 확률 값은 매회 판매금액에 따라 달라지지만 여기서는 평균 700억원을 기준으로 계산해보았다.
위의 결과를 들여다보면, 당첨자 수가 다소 ‘비정상적’이라 생각할 수도 있는 4명(13번), 20명(1번), 21명(2번)이 눈에 들어온다. 하지만 임의성을 갖고 있는 시행에서 어느 정도는 이러한 결과가 나올 수 있다. 실제 위의 총 당첨자수를 구해보면 899명으로 매주 평균 당첨자수가 8.99명이다. 수학적으로 계산된 기댓값 8.59명과 별반 다를 바 없는 지극히 정상적인 결과다. 정상적으로 기대할 수 있는 당첨자보다 더 많은 20~21명의 당첨자가 나오기도 했지만, 4명과 같이 그보다 더 작은 당첨자도 나와서 ‘전체적으로는 수학적인 기대수준과 엇비슷해 졌다’는 이야기다.
그러함에도 불구하고, 로또복권의 추첨기계와 1등 당첨자 수의 결과를 쉽게 수긍할 수 없는 이들을 위하여 총 판매금액 700억원에 대한 컴퓨터 가상실험(자동구매 및 자동추첨)을 해보기로 한다.
700억원에 대한 가상실험 결과,
1등 당첨자수는 8명, 15명, 10명, 9명, 5명, 10명, 12명, 4명, 12명, 7명이다.
총 10번의 실험에 불과하였기에,
(Mathematica를 이용한 700억원에 대한 10번의 가상실험은 총 6분×10번=60분이 소요되었다.)
20~21명의 당첨자는 발생하지 않았지만 최소 당첨자 4명, 최대 당첨자 15명에 이르기까지 폭넓게 나타났음을 볼 수 있다. 더하여, 총 당첨자 수는 92명으로 평균 당첨자 수는 9.2명이다. 이 값 역시 수학적으로 계산된 기댓값 8.59명과도 크게 다르지 않다.
물론, 통계학적으로 더욱 정밀한 검증의 절차를 적용해볼 수도 있겠지만, 이정도 수준의 수학적 확률계산과 실제와의 비교 및 가상실험 결과로도 지난 100회의 기간 동안 발생한 로또복권의 실제 당첨자수는 정상적인 범주내의 결과라고 볼 수 있다.
출처:http://m.lg-sl.net/mobile/sciencestory/sciencestorylist/readScienceStory.mvc?storyId=ALMA2018030002
공이 나오는 순서에도 상관 없으니.. 순열이 아닌 조합이고...
1~45 의 번호 중 한개를 꺼내면 다음에 다시 동일한 숫자가 나오지 않으니..
중복을 허용하지 않는 공식을 사용하게 됩니다.
그러므로 조합 공식을 이용하게 되어..
전체 경우의 수는..
45C6 = 45x44x43x42x41x40 /(6x5x4x3x2x1) = 8,145,060
이 중 번호 6개가 동일하야하는 1등은 1개 밖에 없으므로...
로또 1등 당첨 확률은..
1/8,145,060
이 됩니다.
로또 당첨자 수는 공의 번호수를 먼저 고려 하셔야 합니다
45 번까지 있지요? 그럼 45번까지 6 숫자를 맞추면 되니까 45 곱하기 6을 할까요? 아닙니다
공 한개를 뽑으면 그다음 에는 그 숫자가 안나오겠지요
45/44/43/42/41/40 을 전부 곱하면 됩니다. 그 중의 1가지 경우의 수를 찾는것이니
45x44x43x42x41x40 를 분모로 1을 분자로 두면 되지요
그런데 여기서 재밌는점은 로또에는 순서는 맞출 필요가 없다는 점입니다. [12345 나 54321이나 34521이 같음]
이를 해결하기 위해서 분자에 6X5X4X3X2X1 를 두면 순서에 상관 없이 취급하게 됩니다. [수학 공부생략]
따라서 45X44X43X42X41X40 분의 6X5X4X3X2X1 = 8,145,060 이 되는거죠
이로서 모든 경우의 수를 구했습니다.
8,145,060 의경우의 수 중 1가지 경우가 로또1등의 길이 되겠네요.이런 번개맞을 확률에도 당첨자 수가 많은이유는 단순히 이 경우를 뚫을만큼 많은 사람들이 로또를 사서 그렇습니다. 장기적으로 보면 수학적 통계치와 당첨자수가 거의 유사하다고 하네요.
로또 1등의 당첨 확률은 814만 5060분의 1입니다.
매회 10명 이상의 당첨자가 나오는 이유는 그 확률을 뚫을 만큼 많이 들 사기 때문입니다.
1주일에 팔리는 로또 금액만 1100억원이 넘습니다.
