적분에 대해서 질문드려요. 정적분이 넓이를 의미하는 이유는 무엇인가요?

Question

수2 때 미분과 적분을 배우게 됩니다. 미분과 적분은 반대관계이고 미분은 기하학적 의미로 생각할 때 그래프에서 접선의 기울기라고 배우게 됩니다. 미분이 왜 기울기를 뜻하는지는 자세하게 설명하지만 적분은 고등학교 과정에서 정적분이 넓이를 뜻한다는 것만 알려주고 왜 함수를 적분해서 수를 대입한 것이 그 그래프의 넓이를 뜻하는 이유를 설명하지 않습니다. 전 교육과정에서는 구분구적이 나오긴 하지만 이것도 정확한 설명이 아닌 것 같습니다. 그리고 정적분에서 dx는 밑변을 뜻하고 f(x)(x는 변수)는 높이를 뜻해서 f(x)dx가 넓이를 뜻한다고 하는 분들도 있고 단순히 dx에 대하여 적분했으니 그 의미로 표기만 그렇게 한다고 하는 분들이 있는데 뭐가 맞는지 모르겠어요. 정적분을 증명할 수 있는 방법은 딱히 없는 건가요?

Answer 1

정적분이 넓이를 넓이를 뜻하는 이유는 무한히 작은 구간의 넓이를 모두 더한 값으로 정의되기 떄문입니다. 그래프 아래의 영역을 폭이 매우 작은 직사각형들의 합으로 근사할 때 그 폭을 dx라 하고 높이를 f(x)라 하면 각 직사각형넓이는 f(x)dx가 됩니다. 이 폭을 무한히 작게 만들어 전체 구간의 넓이를 구한 극한값이 바로 정적분입니다.