건설 일용직으로 1년 3개월을 일했는데 퇴직금을 받을 수 있나요?

지난 22년 10월에 근로 계약서를 쓰고 지난 24년 1월에 근로 계약 종료 통보를 받고 퇴직했습니다.
그런데 23년 4월 한 달을 작업할 일이 없다고 일방적으로 회사 측에서 일을 쉬게 했습니다.

퇴직하면서 퇴직금에 대해 회사 측에 말하니 한 달을 통으로 쉬었기 때문에 법률상 퇴직금이 발생하지 않는다고 하면서 일용직은 법으로 안 줘도 된다고 했습니다. 그리고 5월달부터 같은 현장에 복귀하여 퇴직 날까지 일을 했습니다.

1. 4대보험 다 적용되었지만 건설 일용직이라 중간에 회사 측에서 강제로 일을 쉬게 하면 퇴직금을 못 받는 건가요?

2. 4월 한 달을 쉬어서 계약 연속성을 인정 못한다면 복귀 시점인 5월에 재계약서를 써야 하는게 아닌가요? (재계약서는 없었음)