얼마전 TV 퀴즈 프로를 보고 있는데..문제 중에..

Question

세상에서 가장 얇거나 넓은 종이를 접어도 최소 몇번 이상은 절대 접을 수 없다면서 유사한 문제가 나왔는데..

정말 아주 얇은 습자지 같은 종이로 접으면 그 보다 더 많이 접을 수 있을 것 같은데...왜? 접을 수 없다는건지 궁금하구요

수학적으로 지수&로그함수를 이용하여 접을때마다 두께를 계산할 수 있다는데..

접을 수 없는 이유?와 계산 방법이 궁금합니다.

Answer 1

안녕하세요. 김경태 과학전문가입니다.

이 문제는 수학적으로 증명된 파라도의 정리(Paper Folding Problem)라고 불리며, 얇은 종이를 몇 번 접어도 절대로 특정한 크기 이하로는 접을 수 없음을 증명한 문제입니다.

이 문제의 핵심은, 종이를 접을 때마다 종이의 두께가 2배씩 증가하게 되는 것입니다. 예를 들어, 처음에 1mm 두께의 종이를 한 번 접으면 2mm가 되고, 두 번 접으면 4mm가 되고, 세 번 접으면 8mm가 됩니다.

파라도의 정리에 따르면, 이와 같은 방식으로 종이를 접을 때, 종이를 특정 크기 이하로 접는 것은 절대 불가능합니다. 구체적으로는, 두께가 t인 종이를 n번 접으면, 종이의 두께는 2^n * t가 됩니다. 따라서, 종이를 n번 접어서 만들 수 있는 두께는 2^n * t 이상이 되어야 하며, 이 값이 충분히 크면 종이를 접을 수 없게 됩니다.

예를 들어, 0.1mm 두께의 종이를 45번 접으면 약 35억 km, 즉 지구에서 태양까지의 거리의 23배가 되는 두께가 됩니다. 이렇게 두께가 급격히 증가하면 종이가 너무 두꺼워져서 더 이상 접을 수 없게 됩니다.

따라서, 이 문제에서 말하는 '가장 얇거나 넓은 종이'를 접는 것은, 현실적으로 불가능한 일이며, 수학적으로도 증명된 사실입니다.

Answer 2

안녕하세요. 김경욱 과학전문가입니다.

이 문제는 수학적인 개념을 이용한 퍼즐인데, 종이를 접을 때마다 종이의 두께가 두 배씩 늘어난다고 가정해보겠습니다. 즉, 한 번 접으면 두께가 2배, 두 번 접으면 4배, 세 번 접으면 8배, 네 번 접으면 16배가 됩니다.

이 경우, 몇 번을 접어도 얇아질 수 없다는 것은 사실이 아닙니다. 얇은 종이라면 상상 가능한 것 이상으로 많은 수의 접힌 층을 가질 수 있습니다. 하지만 이 문제에서는 접을 수 없다고 가정하는 이유는, 접힌 층이 일정 수 이상이 되면 인간의 힘으로 더 이상 접을 수 없을 정도로 종이가 두꺼워지기 때문입니다.

이제 계산해보겠습니다. 가장 얇은 종이의 두께는 약 0.1mm 정도라고 가정하겠습니다. 그렇다면, 한 번 접을 때 두께는 0.2mm, 두 번 접으면 0.4mm, 세 번 접으면 0.8mm, 네 번 접으면 1.6mm가 됩니다. 여기서부터는 지수함수를 이용하여 계산할 수 있습니다.

다섯 번 접으면 3.2mm, 여섯 번 접으면 6.4mm, 일곱 번 접으면 12.8mm, 여덟 번 접으면 25.6mm가 됩니다. 이렇게 계속 두 배씩 늘려가면서 계산하면, 열 번 접으면 102.4cm, 열한 번 접으면 204.8cm, 열두 번 접으면 409.6cm가 됩니다. 이렇게 종이의 두께가 계속해서 늘어나기 때문에, 인간의 힘으로는 접을 수 없는 것입니다.

Answer 3

안녕하세요. 김학영 과학전문가입니다.수학적으로 증명된 것은 아니지만, 일반적으로 "세상에서 가장 얇거나 넓은 종이를 7번 이하로는 접을 수 없다"는 규칙이 있습니다.

이유는 종이를 접을 때마다 종이의 두께가 두 배가 되기 때문입니다. 따라서 1번 접으면 2배, 2번 접으면 4배, 3번 접으면 8배, 4번 접으면 16배, 5번 접으면 32배, 6번 접으면 64배, 7번 접으면 128배가 되며, 이렇게 계속해서 두께가 증가합니다.

그러나 실제로는 종이의 물리적인 한계로 인해 일정 시점 이후로는 종이를 더 이상 접을 수 없게 됩니다. 종이가 접히면서 생기는 응력과 재질의 한계 때문에, 접힌 부분에서는 종이가 찢어지거나 부서질 수 있기 때문입니다. 따라서 종이를 7번 이상 접을 경우, 종이가 더 이상 접히지 않고 찢어지거나 부서질 가능성이 높아집니다.

또한 종이의 크기와 두께, 종이의 재질, 그리고 접히는 방법에 따라서도 최대 접는 수가 달라질 수 있습니다. 하지만 일반적으로 7번 이하로는 접을 수 없다는 것이 일반적으로 알려져 있습니다.

Answer 4

안녕하세요. 김석진 과학전문가입니다.

이 문제는 수학적으로 "논문접기 문제" 또는 "피겨스케이팅 문제"라고도 불리며, 평면을 접을 수 있는 최대 횟수를 구하는 문제입니다.

이 문제에서 "접을 수 없다"는 것은, 논문을 접을 때 모서리 부분이 겹쳐지거나 또는 접힌 부분이 다시 펴지지 않는 현상이 발생해서 더 이상 접을 수 없게 된다는 것을 의미합니다. 따라서 접을 수 있는 최대 횟수는 이러한 현상이 발생하기 전까지만 가능합니다.

아주 얇은 습자지 종이라면 여러 번 접을 수 있을 것으로 보이지만, 이 문제는 종이의 두께가 아니라 종이를 구성하는 분자들의 크기와 상호작용에 기인합니다. 따라서, 이러한 종이는 분자 간의 상호작용 때문에 일정한 접힘 패턴이 형성되어 이러한 현상이 발생할 수 있습니다.

수학적으로, 이 문제를 푸는 방법은 먼저 종이를 한 번 접을 때마다 두께가 몇 배가 되는지 계산하는 것입니다. 이 값을 이용하여 지수함수로 계산하고, 이 값을 다시 로그함수로 변환하여 최대 몇 번까지 접을 수 있는지 계산합니다. 이러한 계산을 수행하면, 종이의 크기와 두께에 따라 최대 접을 수 있는 횟수가 결정됩니다.

하지만 이 문제는 이론적으로만 가능하며, 실제로는 분자의 크기와 상호작용 등에 따라 종이의 두께와 구성이 달라지므로, 실제로는 이론적으로 계산된 최대 접횟수보다는 적게 접혀야 합니다.