책임보험만 가입된 사람이 제차로 사고를 냈는데 제가 처리해주는게 맞나요?

작년 10월에 교통사고로 인해 차량이 파손되어 공업사에 차를 맡겼습니다. 근데 차량 수리 후 출고 전 공업사 직원이 제 차로 사람이 타 있던 차를 추돌하였고, 그 차에 타있던 운전자가 소송을 걸어 저는 6개월이 다 된 지금 사고 사실을 알게 되었습니다. 제가 책임 보험에 대해 알아보니

*대인배상 1에 해당하는 손해액은 정부보장 사업에서 보상 받고 해당 금액 초과액, 즉 대인배상 2에 해당하는 손해액은 피해자의 무보험자동차에 의한 상해 가입여부에 따라 보상됨. 그 후 가해자는 자동차손해배상진흥원이 대위권을 행사하여 보험사와 같이 피해자에게 지급한 손해액"전부"에 대하여 구상권 을 행사합니다.*

라고 하길래 제가 가입한 보험사 대인 담당자에게 물어보니 처음엔 저에게 전혀 불이익이 없으니 걱정 마라하셨고 그 후 제가 제 보험으로 처리를 해드릴 수 없다 하니 그때는 또 공업사랑 말을 해보라며 말을 하셨습니다. 또 만약 공업사와 제가 처리를 안해주다가 시간이 지나서 제가 보험처리를 해주게된다면 그때 발생된 연체이자도 납부를 해야한다고 저에게 겁을 주는데 이게 맞는 사실일까요?

애초에 차는 제 차가 맞지만 저는 사고 사실을 6개월 이상 몰랐습니다. 공업사 직원은 바로 사고 은폐사실 인정 하였구요. 애초에 이게 맞는 상황인가요? 저희 보험사 직원마저 처음엔 제 보험으로 처리하게끔 유도를 해 더욱 이해가 안됩니다. 제일 궁금한건 대인배상 1초과 시 피해자보험사에서 피해자에게 그에 따른 금액 선지급 후 가해자에게 구상권 청구를 한다는데, 그게 차주인 제가 되는게 맞는건가요? 또한 공업사와 대인 담당자에게 어떻게 이야기를 해야 잘 대처하는건지도 궁금합니다 긴 글 읽어주셔서 감사합니다