벡터의 곱셈은 왜 존재하고 무엇을 의미하는 것인가요?

Question

벡터를 공부하게 되면서 물리와의 연관성을 많이 배우게 되었습니다.

그 과정에서 확실히 벡터의 분리, 덧셈 등은 이유와 원리를 이해했습니다.

하지만 벡터의 내적과 외적은 왜 존재하는 것이죠?

무엇을 의미하는 계산인지 잘 모르겠습니다.

내적은 두 벡터의 각도 계산에는 확실히 쓸모있지만

왜 물리에서 내적을 사용하는지, 왜 외적을 사용하는지

이들 계산 결과가 의미하는 것은 무엇인지 솔직히 잘 모르겠어요

고등 교육과정으로는 과정이 아닌 그냥 암기만 할 뿐이기에

왜 이런 개념이 등장했는지

순서대로 배울 수 없는 것이 아쉽네요

또한

곱셈은 직사각형의 넓이를 나타내는 것으로 이해하고 있습니다

그런데 벡터의 곱셈은 내적 외적 포함해서 직관적으로 이해할 수 있는게 전혀 없더군요

답변 부탁드리겠습니다!

Answer 1

안녕하세요! 손성민 과학전문가입니다.

벡터의 내적은 두 벡터가 이루는 각의 크기를 계산하는데 사용됩니다. 내적은 두 벡터의 크기와 두 벡터 사이의 각도를 곱하여 스칼라 값을 구합니다. 이 값은 두 벡터가 얼마나 비슷한 방향을 가지고 있는지를 나타내는데 사용됩니다. 내적은 물리에서 힘과 가속도, 일과 거리 등을 계산하는데 유용하게 사용됩니다. 예를 들어, 힘과 이동 방향이 같은 경우 내적은 힘의 크기와 이동 거리를 곱하여 일을 계산하는 데 사용됩니다.

벡터의 외적은 두 벡터가 이루는 평면에 수직인 벡터를 구하는 연산입니다. 외적은 두 벡터의 크기와 두 벡터가 이루는 각의 크기를 곱하여 벡터를 구합니다. 이 값은 두 벡터가 평면상에서 얼마나 회전 운동을 하는지를 나타내는데 사용됩니다. 외적은 물리에서 회전 운동이나 자기장 등의 벡터 연산에 사용됩니다. 또한 외적은 두 벡터가 이루는 평면의 넓이를 나타내는 것으로 이해할 수도 있습니다.

벡터의 곱셈은 벡터끼리 곱하는 연산으로, 내적과 외적을 포함합니다. 벡터의 곱셈은 두 벡터가 가지고 있는 방향성과 크기를 고려하여 계산하는 것입니다. 이는 물리에서 다양한 벡터 연산에 사용되는 중요한 개념입니다. 벡터의 곱셈은 직관적으로 이해하기 어려울 수 있지만, 이는 고등 교육과정에서 벡터의 개념을 제대로 이해하지 못한 채 암기하는 것이 원인입니다. 따라서 벡터의 곱셈에 대한 이해를 높이는 것이 중요합니다.

Answer 2

안녕하세요. 김경태 과학전문가입니다.

벡터의 곱셈은 벡터의 성질과 특성을 이해하는 데 중요한 개념입니다. 벡터의 곱셈은 크게 내적과 외적으로 나뉘며, 각각의 의미와 활용 방법은 다릅니다.

내적은 두 벡터의 크기와 사이각에 의해 결정되는 스칼라 값을 반환하는 연산입니다. 내적은 두 벡터가 이루는 각도에 따라 그 값이 달라지며, 두 벡터가 서로 수직일 때 값이 0이 됩니다. 내적은 벡터의 길이와 방향을 고려하지 않고, 두 벡터가 서로 얼마나 유사한지를 나타내는데 주로 활용됩니다.

반면, 외적은 두 벡터가 이루는 평면에 수직인 벡터를 반환하는 연산입니다. 외적은 두 벡터가 이루는 평면의 크기와 그 방향을 나타내며, 두 벡터가 서로 평행할 때 값이 0이 됩니다. 외적은 벡터의 길이와 방향을 모두 고려하여 벡터를 반환하는데, 주로 회전, 운동량, 전자기학 등에서 사용됩니다.