오일러 수치해법이 어떤건가요? 아시는 분 답변 부탁드립니다.

Question

최근에 공업수학을 배우고 있는데 오일러 수치해법이 정확하게 잘 모르겠습니다. 좀 쉽게 알려주실 분 없으실까요? 개념적으로 부탁드립니다.

Answer 1

안녕하세요. 김두환 과학전문가입니다.

쉽게생각해서 정의를 활용하여 값을 하나하나 찾아나가는 방법입니다. 수학의 기본적인 이해와 원리를 사용한 것이죠.

우리는 x+1=0을 풀 때, x에 0, 0.1, 0.2, 0.3,-0.1,-0.2,-0.3,...,-1 과 같이 하나하나 넣어가며 풀기마련입니다. 이러한 시행착오를 거쳐 쉽게 x=-1이다 라고 도출할 수 있죠. 이러한 원리를 사용한 방법입니다.

y'(t=0)=1 라는 미분방정식이 있고 초기 t=0일 때 값은 y(0)=2라고 주어져 있을 때, y(0.01)의 함수값을 찾는 방법이 오일러 수치해법입니다.

미분의 정의에 따라

[y(0.01)-y(0)]/0.01=1 이므로,

y(0.01)=0.01+y(0) 을 만족하며,

y(0.01)=2.01임을 예측할 수 있습니다.

Answer 2

오일러 수치해법은 미분방정식의 수치해를 구하는 방법 중 하나입니다. 이 방법은 미분방정식을 작은 구간으로 나누고, 각 구간에서 미분 대신 유한 차분을 이용하여 근사적인 해를 얻는 방법입니다.

오일러 수치해법은 주어진 미분방정식을 형태에 따라 1차 또는 2차 오일러 방법으로 구할 수 있습니다. 여기서는 1차 오일러 방법에 초점을 맞추겠습니다.

1차 오일러 방법은 미분방정식을 작은 구간으로 나누어 각 구간에서의 미분값을 근사하여 수치해를 구합니다. 기본적인 개념은 다음과 같습니다:

1. 구간 나누기: 미분방정식의 독립변수(예: 시간)을 작은 구간으로 나눕니다. 이를 위해 시간 간격을 일정한 크기로 선택하고, 각 시간 구간에서의 값을 근사적으로 계산합니다.

2. 근사해 계산: 각 구간에서의 미분값을 근사적으로 계산하여 다음 시간 구간의 값을 구합니다. 이를 위해 미분방정식에 대한 근사식을 사용합니다.

3. 반복 적용: 위 과정을 구간을 따라 반복하여 원하는 시간 구간까지 근사적인 해를 얻습니다.

1차 오일러 방법은 간단하고 직관적이지만, 정확성은 떨어질 수 있습니다. 구간 크기가 작을수록 정확한 결과를 얻을 수 있지만, 계산량도 늘어나게 됩니다. 따라서 수치해법을 적용할 때는 구간 크기와 정확도 사이의 균형을 고려해야 합니다.

오일러 수치해법은 수치해를 구하는 데에 널리 사용되는 방법 중 하나이지만, 정확한 해와는 차이가 있을 수 있으므로 주의해야 합니다. 미분방정식의 특성과 구체적인 문제에 따라 다른 수치해법을 선택할 수도 있습니다.