C-P가 S-D-k보다 큰 이유가 뭘까요?

Question

아메리칸 콜옵션이 배당이 있는 기초자산을 바탕으로 한 경우 하한선이 제목처럼 나오는데요. 어떻게 도출되는지 이해하기가 어렵습니다.

박경영 · Accepted Answer

아메리칸 콜옵션(C)과 풋옵션(P)에 대해 배당이 있는 기초자산에서 하한선이 C−P≥S−D−kC - P \geq S - D - k로 나타나는 이유를 이해하기 위해 다음을 단계별로 살펴보겠습니다.

1. 핵심 개념

목표는 옵션의 하한선을 도출하는 것입니다. 이는 풋-콜 패리티(Put-Call Parity)를 수정한 형태로, 배당이 있는 경우에도 옵션 가격 간의 관계를 이해하는 데 도움을 줍니다.

2. 풋-콜 패리티(Put-Call Parity) 기본 공식

배당이 없는 유럽형 옵션의 경우, 풋-콜 패리티는 다음과 같습니다.

C−P=S−ke−rTC - P = S - k e^{-rT}

여기서 rr은 무위험이자율이고, TT는 옵션의 잔존 만기입니다.

3. 배당이 있는 경우의 수정

배당이 있는 경우, 배당금의 현재가치 DD를 고려해야 합니다. 기초자산 가격 SS는 배당을 지급함으로써 감소하므로, 이를 반영한 풋-콜 패리티는 다음과 같이 수정됩니다.

C−P=S−D−ke−rTC - P = S - D - k e^{-rT}

4. 아메리칸 옵션의 특성 반영

아메리칸 옵션은 만기 이전에도 행사할 수 있는 권리를 가지므로, 유럽형 옵션보다 유리합니다. 따라서 C−PC - P의 관계는 유럽형 옵션과 달리 강한 불평등이 성립합니다:

C−P≥S−D−kC - P \geq S - D - k

이 불평등이 성립하는 이유는 아메리칸 옵션의 조기 행사 가능성 때문입니다.

5. 하한선의 의미

C−P≥S−D−kC - P \geq S - D - k

이 관계는 다음과 같은 직관적인 이유로 이해할 수 있습니다:

기초자산의 현재 가치 조정: S−DS - D는 배당금 지급을 반영한 기초자산의 실질 가치입니다. 배당이 없는 경우보다 기초자산 가격이 낮게 평가됩니다.
행사가격의 차감: kk는 콜옵션의 행사가격으로, 풋옵션이 내재적으로 영향을 받습니다.
조기 행사 가능성: 아메리칸 옵션은 조기 행사 가능성 때문에 유럽형 옵션의 하한선보다 높아질 수 있습니다.

6. 직관적 이해

결론적으로, 아메리칸 옵션의 C−PC - P 값이 S−D−kS - D - k보다 클 수밖에 없습니다.

7. 추가적 도출 필요 시

필요하면 수학적으로 도출 과정을 더 상세히 설명하거나 예제를 통해 확인할 수 있습니다!

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