안녕하세요. 우렁찬관박쥐215입니다.
중1 수학 수준에서는 대칭성 때문이라고 편하게 생각하셔도 될 것 같습니다만, 증명을 해보자면 아래와 같이 할 수 있을 것 같습니다.
단, 아래 증명에서 호의 길이가 360°를 초과하는 것은 겹친 호 부분까지 생각합니다.(예를 들면 중심각의 크기가 720°인 호의 길이는 2πr×2로 생각합니다).
(i) a가 유리수인 경우
a=0이면 당연히 성립하기 때문에 a를 양수인 유리수로 두겠습니다. 그러면, 유리수의 정의에 따라 a=B/A로 서로소인 두 양의 정수 A, B에 대하여 나타낼 수 있습니다. 중심각의 크기가 a°인 호의 길이를 l이라할 때, l×360A는 중심각의 크기가 360°×B인 호의 길이와 같으므로
l×360A=2πr×B 가 성립합니다. 양변을 360A로 나누면, l=2πr×(B/360A)=2πr×a/360에서 증명이 완료됩니다.
(ij) a가 무리수인 경우
이 경우는 엄밀한 증명을 중1 수준에서 하기 어렵습니다. a에 한없이 가까운 유리수 p, q를 잡아 p<a<q를 만족한다면, 2πr×p/360<l<2πr×q/360이 성립하겠죠. p와 q는 한없이 a로 다가가니까 l은 2πr×a/360이다라고 생각하셔도 될 것 같습니다.
다만 중1 수준에서 이런 증명을 할 필요는 없다고 보여집니다. 참고만 하셔도 될 것 같습니다.