3의 배수에 관한 수학적 공식 질문이에요.

Question

어떤 자연수(자릿수가 큼)가 3의 배수인지 확인하려면

각 자리의 숫자를 더해서 3으로 나누어 떨어지면 3의 배수라고 배웠는데요.

왜 이렇게 되는거죠? 증명이 있나요?

3의 배수 공식 말고 다른 숫자도 있나요?

Answer 1

안녕하세요. 박준희 과학전문가입니다.

3의배수라고 하면 자연수에 3을 곱한수치인데요.

그런수치를 3으로 나누면 당연히 나누어 떨어지는거죠. 과학논리라고 하기보다는 수학적인 개념이죠.

감사합니다.

Answer 2

안녕하세요. 정준민 과학전문가입니다.

자연수가 3의 배수인지 확인하는 방법에는 다양한 방법이 있습니다. 그 중에서도 자릿수의 합을 이용한 방법은 3의 배수 여부를 빠르고 쉽게 확인하는 방법 중 하나입니다.

어떤 자연수 n을 생각해봅시다. 이 자연수 n을 각 자릿수로 나누어 표현하면 다음과 같이 됩니다.

n = a_k * 10^k + a_(k-1) * 10^(k-1) + ... + a_2 * 10^2 + a_1 * 10^1 + a_0 * 10^0

여기서 a_k, a_(k-1), ..., a_2, a_1, a_0은 자연수 n의 각 자릿수를 나타내며, k는 자릿수의 개수입니다.

이제 각 자릿수를 더해보겠습니다.

S = a_k + a_(k-1) + ... + a_2 + a_1 + a_0

자릿수의 합 S는 원래 수 n의 각 자릿수를 더한 값입니다. 이제 n을 3으로 나눠보면 다음과 같습니다.

n = a_k * 10^k + a_(k-1) * 10^(k-1) + ... + a_2 * 10^2 + a_1 * 10^1 + a_0 * 10^0 = (a_k + a_(k-1) + ... + a_2 + a_1 + a_0) + (a_k * (10^k - 1) + a_(k-1) * (10^(k-1) - 1) + ... + a_2 * (10^2 - 1) + a_1 * (10^1 - 1) + a_0 * (10^0 - 1))

여기서 첫 번째 항은 자릿수의 합 S이고, 두 번째 항은 10의 거듭제곱 수들의 합입니다. 두 번째 항은 9로 나누어 떨어지므로, n은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

n = S + 9m (여기서 m은 어떤 자연수)

이제 n을 3으로 나누어 보면 다음과 같습니다.

n = S + 9m = 3(S/3) + 9m = 3(S/3 + 3m)

여기서 (S/3 + 3m)는 어떤 자연수입니다. 따라서 n은 3의 배수입니다.

즉, 어떤 자연수의 각 자릿수를 더해서 나온 값이 3의 배수라면, 그 자연수 자체도 3의 배수라는 것을 증명할 수 있습니다. 이것이 위에서 설명한 원리의 수학적 근거입니다.

또한, 다른 수에 대해서도 유사한 방식으로 나머지 연산을 사용하여 해당 수가 특정 수의 배수인지 확인할 수 있습니다. 예를 들어, 어떤 자연수 n이 5의 배수인지 확인하려면 n을 5로 나누어 나머지가 0인지 확인하면 됩니다.