고민상담
무리수에서 순환하는 부분이 있다면 유리수 아닌가요?
무리수는 순환하지 않는 무한소수라고 배웠습니다. 근데 만약에 루트2가 1억번째 소수점 자리에서 순환하는 부분이 생긴다면 유리수 일수도 있고 아닐수도 있는데 왜 그냥 순환이 없는 무리수 라고 배우나요?
5개의 답변이 있어요!
무리수가 ‘순환하지 않는 무한소수’라고 배우니 헷갈릴 수 있어요. 핵심은 ‘순환이 나타나는가’보다 그 수가 유리수로 표현 가능한가에 달려 있어요. 유리수는 분수(정수/정수)로 나타낼 수 있고, 그 결과가 유한소수나 순환소수로 이어져요. 그런데 √2 같은 무리수는 어떤 분수로도 정확히 표현할 수 없기 때문에, 소수로 나타내면 끝없이 이어지고 일정한 패턴도 생기지 않아요. 만약 무리수의 먼 자리에서 우연히 비슷한 숫자 패턴이 보이더라도, 그게 반복 주기로 순환하는 건 아니라서 유리수가 되지 않습니다. 그래서 무리수는 ‘절대 순환하지 않는 소수’라고 배우는 거예요!
루트2인 무리수는 유리수라고 가정하면 오류가 나옵니다. 그것에서 루트2가 무리수라는 것을 알게 됩니다. 따라서 무리수이기 때문에 순환하지 않는 무한소수라는 것도 알게 되는 것이고요~^^ 순서를 바꿔서 생각하면 이해가 쉽습니다.ㅎㅎ
무한소수가 순환한다는 것은 잠깐 순환하고 마는 것이 아니라 영원히 순환하는 것을 의미합니다. 그러니까 예를 들어서 0.0101010101871892789217398127.... 이런 소수가 있다면 처음에는 01이 순환하는 것처럼 보이지만 추후에 어그러지기 때문에 '순환하는 무한소수'(즉, 유리수)라고 할 수 없다는 것입니다.
그리고 수학에서 말하는 무리수, 즉 '순환하지 않는 무한소수'란 아무리 길게 소수점 자리를 끌고 가도 절대 순환하지 않는다는 게 증명된 것을 말합니다.
그러니까 유리수가 아니라는 것이 이미 수학적으로 증명되었기 때문에 '순환이 없는 무리수'라고 배우는 것입니다. 질문자님이 생각하신 '유리수일 수도 있고 아닐 수도 있다'라는 생각이 틀렸습니다. 왜냐면 유리수가 아니라는 것이 증명되었으니까요. 어떻게 증명하는지는 너무 복잡하니까 구태여 다루지 않은 것이고요.(검색하면 나옵니다)
https://m.blog.naver.com/lovetaehong/130076193214
위 링크를 참조하세요.
유리수는 왜 유한소수이거나 무한순환소수로 나타나는가? 라는 것을 증명하는 글입니다.
그러면 유리수는 유한소수이거나 무한순환소수일 수밖에 없기 때문에,
비순환소수는 유리수가 될 수 없습니다.
그리고 어떤 수가 순환하는지 여부는 어떻게 판별하냐면
이게 너무 어려워서 저도 잘 모르겠기는 한데 결국엔 분수로 나타낼 수 있기 때문에 순환하지 않는다는 건데요.
대표적인 무리수인 루트2를 예시로 루트2가 왜 무리수인지를 귀류법으로 증명하는 글도 있습니다.
그래서 이 글의 결론이 모든 무리수라고 일컬어지는 수들(루트2, 루트3 등)은 귀류법으로 무리수(순환하지 않는 수)라는 것이 증명 가능하다는 얘기입니다.
그리고 질문자님 질문 자체가 약간 순환논리적인 성격이 있습니다.
무리수가 즉 순환하지 않는다는 뜻인데...
무리수가 순환할 수도 있는데 왜 순환하지 않는다고 배우냐고요?
무리수는 순환하지 않는다는 뜻입니다. 애초에...
루트2는 순환하지 않는다는 게 위 글에서 증명 가능하고요.
그니까 질문자님 질문은 마치
"빨간 물건을 보고 왜 붉다(赤)고 하나요? 푸를(靑) 수도 있는데?"
이런 느낌입니다.
안녕하세요. 빛나라 하리 입니다,
무리수와 유리수는 서로 '소' 이며, 유리수 + 무리수 = 실수이고, 유리수 끼리는 사칙연산 결과가 유리수, 무리수
끼리는 유리수나 무리수가 나올 수 있습니다.
정의와 성질을 좀 더 적어보면
유리수는 분수로 나타낼 수 없고, 무리수는 분수로 나타낼 수 없습니다.
유리수와 무리수 사이에는 무수히 많은 유리수와 무리수가 존재 합니다.
수직선을 실수에 대응하는 점들로 완전히 메울 수 있습니다.