구두계약으로 입사했는데 기간을 바꿀 수 있나요?

안녕하세요 전문가님의 의견이 궁금합니다.

제가 학교 교수님 아시는 분 회사에 들어가게 됐는데요, (인턴으로)

요즘 취업난이다 보니깐 미리 경험을 쌓고자 가게 되었습니다. 잘하면 정직원으로도 해준다는 말에 갔는데 말로는 3개월 인턴이라 하고 갔는데 갑자기 2개월만 하고 나가래요. 코로나때문에 일거리도 없다고 2개월만 일하고 나가라는데, 너무 억울합니다. 그동안 다른 회사 6개월 인턴 제안이 들어온거 이미 일해서 거절했었는데 기회만 날려버린것 같아요.

문제는 계약서가 없습니다. 제가 계약서를 써달라고 했는데도 안써줬어요.

제가 할 수 있는 조취는 무엇이 있을까요..? 가지고 있는 기록이라곤 교수님이랑 문자를 주고받았던 내용입니다. 그때당시 뭔가 기록을 남기는게 좋을 것 같아서 6월부터 9월까지 3개월 인턴 기간 맞나요? 라고 되물었던 문자기록이 있거든요.

이걸로 서류를 할 수 있을까요. 억울하게 2개월만 하고 그만둬야하나요 .. 2개월은 인턴 한걸로도 안쳐준다는데 걱정입니다.