월세 이사나가는데 새입자 들어오기전까지의 공실 비용을 추가로 내야하나요?

제가 월세계약이 내년3월12까진데 (1년자동연장계약입니다), 9/10에 이사를 나가게 됐어요.
계약서에 이사나갈시 새입자를 구하고 나가야 된다고 되어있고 계약중도 파기시 중개수수료를 부담해야한다고 되어있습니다.
그래서 새입자를 구했는데 그분이 9/14에 들어온다고 합니다.

근데 집주인이 제가 나가는 9/11~9/13까지의 월세를 내라고 합니다.
중개수수료를 내는것은 당연히 계약중도파기니까 내는거지만, 공실기간동안 제가 월세를 내야한다는 내용이 계약서에없는데 지불해야하나요?
법적으로 이게 말이 되나요?