무한한 점이 모여서 어떻게 유한한 선이 되는 것인가요?

Question

일반적으로 '선'의 정의는 무한한 점이 모여서 이루어지는 것인데, 무한한 점이 모이면 길이가 무한대가 되어야

하는거 아닌가요? 예를 들면 길이가 3cm 인 선과 길이가 5cm 인 선 둘다 무한한 점이 모인건데 이 2개의 무한 중

어느 무한이 더 큰 것인가요? 수학에서 무한대는 대소를 따질 수 없다고 하는데, 모순인 것 같습니다.

이에 따르면 '선'에 대한 정의가 '선은 무한한 점의 모임이다' 가 아닌, '선은 무한에 수렴하는 점들의 모임이다' 라고

볼 수 있을 것 같은데, 맞나요?

Answer 1

무한의 개념에는 모순이 많습니다.

예를 들어서 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... 입니다.

계속해서 앞의 수보다 1/2가 작은 값을 더해가지만, 결국 1이라는 값에 수렴합니다.

무한 중에도 큰 무한과 작은 무한이 있습니다.

예를 들어서 x^2 과 x를 비교할 경우, x가 크면 클수록 x^2이 더 빠르게 커지는 것과 같은 원리입니다.

Answer 2

선은 무한한 점의 모임이지만, 이 모임이 유한한 길이를 가질 수 있는 이유는 무한한 점들이 서로 떨어져 있지 않고 규칙적으로 배열되어 있기 때문이다. 따라서, 선의 길이는 무한대가 아니라 무한에 수렴하는 값이며, 이를 수학적으로 정의하기 위해서는 극한의 개념이 필요하다.