실업인정기간에 입사와 퇴사가 전부 이뤄졌을때 실업급여 받을 수 있나요?

5월7일에 처음으로 실업급여 신청을 했습니다.

2주간의 실업인정기간이 있더군요. 5월21일이 실업인정일이라는 설명을 들었고 귀가했습니다.

그런데 전직장에서 인원이 필요한 다른업체를 소개시켜줬고 면접 후 5월12일 입사를 했습니다.

그런데 여기도 상황이 좋지는 않았습니다. 정규직이지만 원청의 상황에 따라 나가야 할 수도 있으니 일이 잘 풀리도록 기도하라는 소리도 직접 듣기도했고 급여도 적었죠.

답이 보이지않아 5월19일 퇴사의사를 밝혔고 5월20일인 잠시 후 사직서와 보안카드를 제출하러 갑니다.

이럴경우 전직장의 실업급여 받을 수 있나요? 받을 수 있다는 말도 듣기는 했는데 전문가분들의 소견을 듣고 걱정을 내려놓고싶어 질문드립니다.

아 그리고 고용센터에 취업했다는 신고와 실업급여신청취소는 안한 상태이구요. 보험도 직장가입자라고 안되어있는 걸 보면 회사에서 입사 후 보험처리는 안 한 듯 보입니다.