현직장 연차소진 중에 다음 회사 입사 가능한가요?

안녕하세요, 저는 이직준비 중인 회사원입니다.

현 직장에서 다음주까지 근무하고 남은 연차를 다음달 9일까지 소진 후에 퇴사하려고 했는데, 지난주에 면접을 본 회사에서 7월 1일부터 출근 가능하냐고 해서요.

입사일 조정이 가능한지 문의는 해두었는데 혹시 안될 경우, 그날부터 출근하면 기간이 겹치는데 이중취업으로 문제 없을까요? 궁금합니다.