지수의 식 변형 공식 관련 질문 드립니다
(1) x^a = y^b일 때 → x = y^(b/a), y = x^(a/b) (단, x>0, y>0, ab ≠ 0)
(2) a^x = b^y = c^z = k일 때 → a = k^(1/x), b = k^(1/y), c = k(1/z) (단, a>0, b>0, c>0, xyz ≠ 0)
에서 두 공식의 전제조건이 왜 (단, x>0, y>0, ab ≠ 0), (단, a>0, b>0, c>0, xyz ≠ 0) 처럼 주어지는지 잘 모르겠어요...ㅠㅠ
안녕하세요. 도로밍입니다.
1. 밑이 양수여야만 성립해요. 밑이 음수라면 짝수제곱일 때와 홀수제곱일 때 부호가 다르니까요. 그리고 지수도 정수가 아닌 유리수로 확장했으니 음수일 때는 더더욱 성립할 수 없죠.
2. xyz가 0이면, 하나라도 0이라든 건데 지수가 0이면 1이 나와야 하므로 밑이 1이 아닌 이상 지수가 항상 0이어야만 성립하므로, 전제로 준 겁니다.
3. 저 전제 조건은 문제에서 줄 거예요. 너무 이 조건에 얽매이지 마시고 여러 예제와 유제들을 풀어보면서 공식이 어떻게 활용되는지를 익혀 보세요.
안녕하세요. 디스맨-Q847입니다.
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(1) 공식에서 [ab ≠ 0]이라는 조건이 주어지는 이유는 다음과 같습니다.
공식에 보면 < b/a > , <a/b> 와 같은 부분이 있지요? 분수의 형태네요. 그런데 분수에서 분모는 0이 될 수 없지 않습니까? 그래서 a하고 b가 0이 아니라는 단서를 달아둔겁니다. 그래서 원래는 [a≠0 , b≠0] <- 이렇게 쓸수 있겠지만 축약해서 ab ≠ 0이라고 표현한거죠. a랑 b중에 하나라도 0이면 곱도 0이 되니까요. a와 b의 곱이 0이 아니라는 얘기는, a와 b가 각각 모두 0이 아니라는 의미입니다.
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(1) 공식에서 [x>0, y>0] 이라는 조건이 주어지는 이유는,
만약 x 또는 y가 음수라면 해당 공식이 성립하지 않기 때문이죠.
왜냐면 음수를 제곱할때 짝수번 제곱하면 양수가 되고, 홀수번 제곱하면 음수가 되지 않습니까? 그래서 아마도 계산이 엄청 지저분해질겁니다. 한 번 해볼까요? 해당 조건을 무시해보겠습니다.
x=2 , y=-2 , a=2 , b=2라고 할 때...
x^a = 2^2 = 4 네요. 같은 방식으로 y^b = (-2)^2 = 4 이네요. 이때 해당 공식에 따른다면....
x = y^(b/a)이여야 합니다. 즉, 2 = (-2)^(2/2) 이여야 하는거죠.
계산하면 2 = -2가 되네요.
아뿔싸! 어떻게 2와 마이너스 2가 같겠습니까!!?? 반례가 생겨버렸네요~!
왜 이렇게 되었을까요. 음수를 짝수번 곱하면 양수로 변해버리는 성질 때문이죠. 그러니까 이 공식에서 x,y에 음수가 개입하게 되면 성립하지 않습니다.
가령 해당 조건을 빼고도 공식을 성립하게 하려면, <a는 홀수이고 b는 짝수일때, a와b모두 홀수일때...etc> 이런식으로 오히려 더 많은 조건을 지저분하게 달아야만 공식이 성립하게 됩니다.
정리하자면, (1)공식은 [x>0, y>0]라는 전제조건 아래에서만 성립하는 공식이기 때문에 해당 조건이 주어지는겁니다.
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(2) 공식에서 [a>0, b>0, c>0, xyz ≠ 0] 이라는 조건이 주어지는 이유도 똑같습니다.
자, 일단 xyz=0은 쉽죠? 수학에서 분모에 0이 들어가면 안 됩니다. 공식에서 x,y,z를 분모에 활용하고 있는 모습이 보이네요. 이 3개의 변수 중에서 단 하나라도 0이 대면 안 됩니다. 절대 안됩니다!! 이 사실을 xyz=0이라는 조건으로 표현한겁니다.
a>0, b>0, c>0은 왜일까요? 또 음수를 짝수번 곱하면 양수로 변해버리는 성질 때문이죠.
직접 해보죠. a가 음수라고 가정해볼까요?
a=-1 , x=3 , k= -1이라고 할 때...
a^x = k
즉, (-1)^3 = -1 인데요. 이 식은 맞죠? 그러면 공식에서 말한대로라면 a = k^(1/x)라고 했기때문에..
-1 = (-1)^(1/3)이라는 거네요.
계산하면..
-1 = (세제곱 루트 안에 마이너스 1이 있는 수)
아이고! 우변의 루트 안에 음수가 들어갔네요. 이건 허수입니다!
어떻게 실수인 <-1>과 허수가 같을 수 있겠습니까? 또 반례가 생겨버렸네요!
이번에도 아까 (1)공식에서 설명한 내용이랑 똑같죠?
a,b,c가 음수면, 공식이 성립하지 않으니까요.
공식이 성립해야 쓸 수 있으니까, 성립하는 범위를 조건으로 달아두는겁니다. 모든 공식은 똑같습니다. 모든 상황에서 성립하는 공식은 없어요. "특정 조건"에서만 성립하는거죠. 그러한 특정 조건을 표시한 거에요 그냥.