양도양수계약서를 안 썼다고하면 퇴직금을 못받나요?

학원강사 전임 주40시간 근무로 첫 원장님께 11개월 두번째 원장님께 9개월 일하고 퇴사했는데

두 번째 원장님이 자기랑 1년근무 안했다고 퇴직금을 줄 수 없다네요

양도양수계약서를 안 써서 자기는 줄 의무가 없다고 합니다.

학원 시설이나 학생, 강사, 제 업무는 바뀐것이 하나도 없는데 저는 퇴직금을 못 받는게 맞나요?