퇴사일 합의 관련 문의 드립니다

현 회사에는 2월 23일(수)에 퇴사 통보를 했으며,

후임자를 채용하면 3월 31일(목)까지 인수인계를 하고 나가겠다고 뜻을 구두로 전달했습니다.

새로운 회사의 입사일은 4월 1일(금)으로, 현 회사는 3월 말일까지 정리해야 하는 상황입니다.

하지만, 현 회사의 대표는 후임자 채용에 시간이 부족하다는 이유로 4월 말까지 인수인계를 해달라고 합니다.

새 회사 측에서는 4월 말까지 인수인계 하고 5월에 합류한다는 것을 미리 알았더라면 다른 사람을 찾았을 것이라며,

굉장히 곤란한 상황입니다.

현 회사의 계약서 상에는 "퇴사 통보는 30일 이전에 실시한다"는 내용의 문장이 있었는데요,

제 경우에는 문제가 없을까요? (혹시 주말이나 삼일절, 대선 투표일 등의 공휴일은 카운트를 하지 않나요?)

근로 계약은 1년을 기준으로 하고 있으나, 1개월 전에 통보할 경우 계약을 해지할 수 있다고 들은 것 같은데...

그리고, 계속해서 현 회사 측에서 사직서 수리를 해주지 않을 경우,

어떻게 대응하면 좋을지 알려주시면 감사하겠습니다.