인수인계 기간 임금체불건을 노동청에 신고했는데, 사업주가 민사상 손해배상 소송을 한다고 할 때?

제가 작년 6월부터 재택근무를 하는 광고대행사에서 근무를 하다가, 근무 조건과 맞지 않는 것(주말에 업무를 해야하는데 이 부분에 대해 지급을 해주지 않는다던지, 처음에는 정직원으로 뽑아놓고 프리랜서로 계약을 한다던지, 임금 입금일이 매월 달라진다던지 하는 부분)과 대표님과 너무 안 맞아서 퇴사를 결정했습니다

9월 초 퇴사 결정 후 대표님에게 전달했고, 인수인계자를 뽑아달라고 했으나 대표님이 개인적으로 바쁘기 때문에 인수인계자를 바로 뽑을 수 없다고 해서 10월 중순까지 근무하는 것으로 협의를 했습니다.

그리고 저는 10월 초부터 다른 회사에서 근무를 하게 됐고, 해당 부분에 대해 사업장에 전달하여 인수인계를 최대한 빠르게 진행할 수 있도록 하는 것으로 협의를 했고, 이후 10월에는 인수인계를 진행했습니다.

당시 인수인계를 받았던 직원들(현재는 대표님과 맞지 않아 모두 퇴사했습니다)에게 자료를 넘기고 인수인계 진행했던 내용도 모두 남아있습니다.

그런데 한 클라이언트에 대한 업무 중 협의되지 않은 주말 근무를 9월말에 하라고 지시가 있었고, 협의되지 않은 부분이다보니 주말에 다른 일정으로 제대로 일 처리를 하지 못했는데(하지만 이후 평일에 진행함) 그 업체와는 계약기간까지 진행하고 이후 재계약을 하지 않은 것으로 알고 있습니다.

당시 제가 관리했던 클라이언트가 20개 가까이 됐던 상황이었는데, 그 업체의 경우 사업주 입장에서는 재계약을 할 것으로 생각했을 수 있지만, 재계약을 하지 않은 것이 저의 책임이라는 것과 10월 2주간 인수인계를 제대로 해주지 않아서 회사에 업무상 피해를 입혔다며 민사 소송을 진행할거라고 하는데

제가 9월에 일한 페이를 1월에 노동청에 신고해서 겨우 받았고, 10월에 13일까지 근무한 것에 대해 요구했을 때 저에게 돈은 지급해도 민사소송을 할거라고 하는데, 저도 같이 소송을 진행할 수 있는 부분인지와 처벌을 원할 경우 어떻게 진행되는지 알고 싶습니다.