입사일과 퇴직금 모두 정정하여 받을 수 있을까요?

퇴사하면서 여러가지 복잡한 문제들로 여기에 문의합니다.

전 직장에 입사 당시,

정규직이 아닌 아르바이트(원천징수)를 3개월 하면서 정직원으로 전환되었습니다.

정직원으로 전환당시에도 첫 한달은 원천징수로 월급을 받았습니다.

총 원천징수로 지급받은게 4개월입니다. 이후 4대보험을 가입하였는데요.

아르바이트로 첫 시작당시에 근로계약서를 작성하지 않았으며, 정규직 전환되고도 근로계약서는 작성하지 않았습니다.

첫 아르바이트일로부터 10개월 정도 지난 뒤에 작성했습니다.

퇴사 하면서 경력증명서와 퇴직근로영수증, 퇴직금을 빠르게 처리해달라고 요청하였으나,

경력증명서에는 4대보험 가입일이 입사일로 되어있었고,

퇴직금 정산도 4대보험 가입일로부터 정산되었습니다.

그리고 경력증명서 발급 의무로 알고 있는데, 처음에 거부하더니 해서 보내줬는데 위에 말한대로

입사일이 4대보험 가입일로 되어있었고, 담당업무가 미 기재되어있었습니다.

1. 이런 경우에는 제가 할 수 있는 방법들은 무엇이 있을까요? 모든 내용 노동청에 신고하면 되는 건가요?

2. 경력증명서상에 입사일이 아르바이트 시작일로부터 책정되는게 맞는건가요?