이직확인서 꼭 발급해드려야 하나요?

계약기간 만료로 퇴직하시고 익월 바로 타회사 입사하셨습니다.

취직 바로하셔서 실업급여 받으시는게 아니라 생각되어 이직확인서를 발급안해드렸습니다.

고용센터에 고용보험 가입내역 다 나올텐데.. 나중에 실업급여받을때 저희회사 이력까지 조회해서 실업급여 반영해주지 않나요? 꼭 이직확인서 발급해드려야 할까요?