근로계약서 없이 실업급여 받을 수 있나요?

2022.03.17입사로 근로계약서 없이

1일 9시간 주5일 근무했습니다.

(수습기간에는 일당 80,000/수습기간 후 일당 100,000 +매달 기름.밥값 20만원) 월급으로 받았습니다.

근무중 회사매출 저조로 주5일에서 주2~3일로 근무 변경 요청을 받았고, 근무조건이 맞지않아 퇴사의사를 밝히고 퇴사했습니다.(2-3일 근무바뀌기 전 퇴사)

퇴직금도 받았구요.

근로계약서는 작성하지 않았고, 4대보험역시 가입하지 않았습니다.

현재 4대보험가입은 할수있으나 가입 후 실업급여를 못받을 경우에는 가입할 필요가 없을 것 같아서

실업급여를 받을 수 있는지 궁금합니다.

증거자료로는 월급입금내역과 카톡내용 녹취록 있습니다.