이직시 퇴사일과 입사일이 겹치는 경우 문제되나요?

안녕하세요, 이직시 아래와같은 문제가 있어 문의드립니다.

기존회사 잔여연차가 23개가 있어 8월에 잔여연차 전부 소진하고 25일(월급날)에 정기급여 수령하고 31일에 퇴사하고자 합니다.

이직하는회사 입사일은 8/6입니다.

이럴경우, 양쪽 회사에 건강보험자격 및 4대보험이 중복가입 될 것 같은데 혹시 문제가 있을지 궁금합니다.