대학교 조교 퇴사 질문입니다.

현재 대학교 학과 조교로 근무 중입니다. 개인 사정으로 인해 8월 셋째 주에 학과장께 퇴사 통보를 하였고, 학과장께서는 3주 뒤(9월 둘째 주)까지도 후임이 구해지지 않으면 그 때 퇴사를 해도 괜찮다고 하셨습니다. 그러나 조교 임용을 담당하는 부서에 여쭤 보니 퇴사는 월 단위로 가능해 여차하면 9월 내내 일해야 할 처지가 되었습니다. 월 말에만 퇴사가 가능하다는 담당 부서의 말이 법적 효력이 있을까요? 아니라면 원래 대화 내용대로 9월 둘째 주까지만 근무해도 되는 것인지 궁금합니다. 3주 뒤 퇴사로 합의를 본 대화는 녹음을 해 둔 상태입니다.