위 사실관계만으로는 명확한 답변을 드리기 어려우나 취미생활로 유튜브 활동을 하는 것이라면 겸업으로 보기는 어려울 것이나, 수익창출을 목적으로 유튜브 활동을 하는 것은 겸업으로 보며, 이를 통해 회사에서 정상적인 근로제공에 있어 지장을 줄 경우에는 징계대상이 될 수 있습니다.
근로자는 근무시간 중에는 근로계약상의 의무를 다해야 하나 근무시간 외에는 사적인 시간에 해당하고, 근로자가 다른 사업을 겸직하는 것은 근로자의 개인능력에 따라 사생활의 범주에 속하는 것이므로 겸업을 전면적이고 포괄적으로 제한하는 것은 부당하며, 원칙적으로 이를 징계사유로 삼을 수는 없습니다.(서울고등법원 2002. 7. 4 선고 2001누13098)
다만, 질문자님이 유튜버 활동 등으로 인하여 정상적인 업무수행에 지장을 주는 등에 해당하지 않는다면 별다른 문제는 발생하지 않을 것입니다.
사내 취업규칙에서 겸직을 제한하고 있다면, 겸직제한 규정을 위반하는 것이기는 하나 단순히 겸직하고 있다는 사정만으로 이를 징계할 수는 없습니다. 그로 인해 본업에 지장이 가거나, 사업장의 명예를 훼손시키는 등 겸직으로 인해 사업장에 손해가 발생하는 경우에 한해 징계사유로 징계할 수 있습니다.