아르바이트를 하다가 손님의 휴대폰의 액정을 깨지게했다면, 이게 알바처에도 책임이 가나요?

편의점 아르바이트를 하다가 손님 앞을 지나가서 계산대를 들어가려다가 제가 실수로 손님의 휴대폰과 부딪혀 그대로 휴대폰의 액정이 살짝 깨졌습니다. 그 분께서 액정값을 물어달라고 요청하셨고 제 개인전화번호를 드리고 제 부모님께 말씀드려서 개인적으로 배상해드리고 보험 처리를 하려고 했는데, 이를 듣던 친구가 이는 알바처에서 노동자라는 신분에서 발생한 일이기때문에 알바처에도 책임을 물게 해서 부담을 줄이라고 하더라고요. 과연 이게 가능한 일일까요? 그리고 아무래도 그렇게 책임을 부과한다면 전 해고를 염두해둬야겠죠?