퇴사 일정 조율하고 싶은데 안된다고 하십니다.

3월 말쯤에 9월까지 근무 후 퇴사하기로 대표님께 말씀드렸다가 6월까지 근무로 퇴사일정을 앞당겼습니다. 그후로 새 직장 면접을 보는데 보는 곳마다 6월부터 근무할 수 있게 퇴사일 조정을 원해서 얘기해보겠다고 하고 오늘 회사 대표님께 5월까지만 근무할 수 있고 여쭤보니 그건 안 된다고 하시길래 6월 중순까지라도 어떻게 안 될까요하니 고민을 해보겠다고 하셨습니다. 한 번 퇴사일을 번복하기도 하고 서로 좋게 좋게 마무리되고 싶어서 더 말은 못했는데 퇴사 허락을 못 받으면 계속 근무해야 하는 걸까요? 근로계약서에는 퇴사 한 달 전 미리 말해야 한다고 명시되어 있습니다. 그렇다면 지금으로 한 달 뒤인 6월 4일까지만 하고 싶은데 어려울까요?